1、9.5 椭 圆,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_.这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若_，则集合P为椭圆； (2)若_，则集合P为线段； (3)若_，则集合P为空集.,1.椭圆的概念,知识梳理,ZHISHISHULI,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,
2、2b,2c,a2b2c2,1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？,提示 当2a|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.,2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？,【概念方法微思考】,3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.,提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种,4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？,提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 判断方法为联立直线与椭圆方程，求联立后所得方程的判别式. (1)直线与椭圆相离0.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括
3、号中打“”或“”) (1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.椭圆 的焦距为4，则m等于 A.4 B.8 C.4或8 D.12,1,2,3,4,5,6,7,解析 当焦点在x轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8. m4或8.,1,2,3,4,5,6,7,解析 设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，
4、所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0). 由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,5.若方程 表示椭圆，则m的取值范围是 A.(3,5) B.(5,3) C.(3,1)(1,5) D.(5,1)(1,3),1,2,3,4,5,6,7,解得3m5且m1.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,故选A.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,第1课时 椭圆及其性质,题型一 椭圆的定义及应用,1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交
5、于点P，则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,解析 由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.,自主演练,2.已知ABC的顶点B，C在椭圆 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 A. B.6 C. D.12,设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，,4.(2018河北衡水中学调研)设F1，F2分别是椭圆 1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_.,解析 由椭圆的方程可知F2(3,0)，
6、由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|. |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a， 当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，,5,|PM|PF1|5105， 即|PM|PF1|的最小值为5.,椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,题型二 椭圆的标准方程,命题点1 定义法,例1 (1)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为,多维探
7、究,(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是,解析 由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).,由A，B，C不共线知y0.,命题点2 待定系数法,解析 设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).,(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2， )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_.,解析 椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，,(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法. (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F
8、1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.,跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，,其焦点在y轴上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216. ,由得b24，a220，,题型三 椭圆的几何性质,命题点1 求离心率的值(或范围),例3 (1)(2018深圳模拟)设椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则
9、C的离心率为,多维探究,解析 方法一 如图， 在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，,|PF1|PF2|2a，,方法二 (特殊值法)： 在RtPF2F1中，令|PF2|1，,由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a， |PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2， 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， |PF1|PF2|F1F2|24c2， 则|PF1|2|PF2|28c24a2， (xc)2y2(xc)2y28c24a2， 整理得x2y25c22a2，,(3)已知椭圆 (abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过
10、椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且 |PT|的最小值不小于 (ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_.,而|PF2|的最小值为ac，,所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)， 所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以5c22ac3a20，所以5e22e30. 又bc，所以b2c2，所以a2c2c2， 所以2e21. ,命题点2 求参数的值(或范围),解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0m3，点M(x，y). 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0). 故tanAMBtan(AMNBMN),结合0m3解得0m1. 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9. 则m的
11、取值范围是(0,19，). 故选A.,方法二 当0m3时，焦点在x轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,当m3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,故m的取值范围为(0,19，). 故选A.,求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e 求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e 求解. (3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.,跟踪训练2 (1)已知椭圆 (0b2)的左、右焦点分
12、别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_.,解析 由椭圆的方程可知a2， 由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8， 所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，,解析 由已知条件易得,即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，,离心率0e1，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2. 设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.,3,课时作业,PART THREE,A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
13、,12,13,14,15,16,所以c1c2，所以两个曲线的焦距相等.,2.设F1，F2分别是椭圆 1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为 A.4 B.3 C.2 D.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|PF1|2a|PF2|1064.,3.(2016全国)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在RtFOB中，|OF|OB|BF|OD|，,1,2,3,4,5,6,7,
14、8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭
15、圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2； a1c1a2c2；,其中正确式子的序号是 A. B. C. D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确； a1c1a2c2|PF|，即式正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即式正确，式不正确.故选D.,7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为_.,又b2a2c2，b29，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
16、12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，,又|F1F2|2c，F1F2A30，,a2b2c2， ,由解得a29，b26，c23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280， 所以b22，则a24，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知A，B，F分别是椭圆x2 1(00，则椭圆的离心率的取值范围为 _.,1,2,3,4,5,6,7,8
17、,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意得F1(1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4， 且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F
18、2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，,12.已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为,技能
19、提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 过F1的直线MF1是圆F2的切线， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 PEF2的周长为|PE|PF2|EF2|PE|2a|PF1|EF2|2a|EF2|PE|PF1|2a|EF2|EF1|2a4b，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,得3x212x182b20， 由12243(182b2)0，解得b23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为PF2是PF1F2的一边，,即c22aca20，所以e22e10(0e1)，,
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