1、8.7 立体几何中的向量方法(二) 求空间角和距离,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,知识梳理,ZHISHISHULI,2.直线与平面所成角的求法,设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为， a与n的夹角为，则sin |cos | .,
2、3.求二面角的大小,(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则 二面角的大小 .,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,1.利用空间向量如何求线段长度？,【概念方法微思考】,2.如何求空间点面之间的距离？,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是
3、这两个平面所成的角.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,(5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角 a的大小是.( ),1,2,3,4,5,题组二 教材改编,2.已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为 A.45 B.135 C.45或135 D.90,1,2,3,4,5,两平面所成二面角为45或18045135.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，,1,2,3,4,5,4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，B
4、CCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,解析 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.,设BCCACC12， 则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为_.,090， 30.,30,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 求异面直线所成的角,师生共研,例1 如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E
5、，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.,(1)证明：平面AEC平面AFC；,证明 如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.,在菱形ABCD中，不妨设GB1. 由ABC120，,由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.,从而EG2FG2EF2，所以EGFG. 又ACFGG，AC，FG平面AFC， 所以EG平面AFC. 因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐
6、标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.,跟踪训练1 三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，AA1平面ABC，AA1AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为,解析 如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2018全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.,师生共研,
7、(1)证明：平面PEF平面ABFD；,证明 由已知可得BFPF，BFEF， PFEFF，PF，EF平面PEF， 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.,(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,解 如图，作PHEF，垂足为H.,由(1)得，PH平面ABFD.,由(1)可得，DEPE. 又DP2，DE1，,又PF1，EF2，所以PEPF.,设DP与平面ABFD所成的角为，,(1)证明：PO平面ABC；,跟踪训练2 (2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC ，PAPBPCAC4，O为AC的中点.,证明 因为PAPCAC4，O为AC的中点，,如图，连接OB
8、.,所以ABC为等腰直角三角形，,由OP2OB2PB2知POOB. 因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC， 所以PO平面ABC.,(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.,解 由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.,设平面PAM的法向量为n(x，y，z).,题型三 求二面角,师生共研,例3 (2018济南模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O
9、.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.,(1)证明：OD平面PAQ；,证明 由题设知OA，OB，OO1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m， 则相关各点的坐标为O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).,(2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值.,设平面CBQ的法向量为n1(x，y，z)，,令z1，则y2，x1，则n1(1，2，1)， 易知平面ABQ的一个法向量为n2(0，0，
10、1)， 设二面角CBQA的平面角为，,利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.,(1)证明：平面AMD平面BMC；,证明 由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD， 故BCDM.,所以DMCM. 又BCCMC，BC，CM平面BMC， 所以DM平面BMC. 又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.,(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.,当三棱锥MABC体积最大时
11、，M为 的中点.由题设得D(0，0，0)， A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，,设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，,可取n(1，0，2)，,例 (12分)如图，四棱锥SABCD中，ABD为正三角形，BCD120，CBCDCS2，BSD90.,答题模版,DATIMUBAN,利用空间向量求空间角,(1)求证：AC平面SBD；,证明 设ACBDO，连接SO， 如图，因为ABAD，CBCD，,所以AC是BD的垂直平分线， 即O为BD的中点， 且ACBD. 1分 在BCD中， 因为CBCD2，BCD120，,在RtSBD中，因为BSD90，O为BD的中点，,所
12、以SO2CO2CS2，所以SOAC. 4分 因为BDSOO，BD，SO平面SBD， 所以AC平面SBD. 5分,(2)若SCBD，求二面角ASBC的余弦值.,解 方法一 过点O作OKSB于点K，连接AK，CK，如图，,由(1)知AC平面SBD，所以AOSB. 因为OKAOO，OK，AO平面AOK，所以SB平面AOK. 6分 因为AK平面AOK，所以AKSB. 同理可证CKSB. 7分 所以AKC是二面角ASBC的平面角. 因为SCBD， 由(1)知ACBD，且ACSCC，AC，SC平面SAC，,所以BD平面SAC. 而SO平面SAC，所以SOBD.,方法二 因为SCBD，由(1)知，ACBD，
13、且ACSCC，AC，SC平面SAC，所以BD平面SAC. 而SO平面SAC，所以SOBD. 6分 由(1)知，AC平面SBD，SO平面SBD， 所以SOAC. 因为ACBDO，AC，BD平面ABCD， 所以SO平面ABCD. 7分,设平面SAB的法向量n(x1，y1，z1)，,因为二面角ASBC是钝角，,答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标； 第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.,3,课时作业,PART THREE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
14、16,基础保分练,1.已知两平面的法向量分别为m(1，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为 A.60 B.120 C.60或120 D.90,即m，n120. 两平面所成二面角为120或18012060.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设CA2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，
15、1)，,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，,设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1，2，2). 平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，,1,
16、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，,则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018上饶模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1，ABAA12，则异面直线AB1与CA1所成角
17、的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，,设异面直线AB1和A1C所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图可知，二面角CABO为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC
18、，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值 为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由ABAC1，PA2，,设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取z1，则n(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
19、14,15,16,AEED，即AE，DE，EF两两垂直， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，,设ABEFCD2， 则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，
20、建立空间直角坐标系. 设ABBCAA12，,则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,异面直线所成角的范围是(0，90， EF和BC1所成的角为60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面 角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一
21、延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.,设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求锐二面角的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，,设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y1，z3，x1，则n(1，1，3)， 取平面ABC的法向量为m(0，0，1)， 设平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为，,1,2,3,4,5
22、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：B1QA1C；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 如图所示，连接AC1与A1C交于M点，连接MQ.,四边形A1ACC1是正方形， M是AC1的中点， 又Q是A1B的中点，,又B1C1BC且BC2B1C1， MQB1C1，MQB1C1， 四边形B1C1MQ是平行四边形，B1QC1M， C1MA1C，B1QA1C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
23、10,11,12,13,14,15,16,解 平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，CC1AC，CC1 平面A1ACC1， CC1平面ABC. 如图所示，以C为原点，CB，CC1所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，,令ACBC2B1C12，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设平面A1BB1的法向量为n(x，y，z)，,设直线AC与平面A1BB1所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：平面BEF平面PEC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
24、2,13,14,15,16,证明 在RtABE中，由ABAE1，得AEB45， 同理在RtCDE中，由CDDE2，得DEC45， 所以BEC90，即BEEC.,所以PE2AE2PA2，即PEAD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD， 所以PE平面ABCD，所以PEBE. 又因为CEPEE，CE，PE平面PEC， 所以BE平面PEC，所以平面BEF平面PEC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求二面角ABFC的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由(1)
25、知EB，EC，EP两两垂直，故以E为坐标原点，以射线EB，EC，EP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设平面ABF的法向量为m(x1，y1，z1)，,设平面BFC的法向量为n(x2，y2，z2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记二面角ABFC为(由图知应为钝角)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因
26、为SA平面ABCD，BAD90， 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.,AB4，SA3， B(0，4，0)，S(0，0，3). 设BCm，则C(m，4，0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：无论取何值，总有AM平面PNQ；,证明 连接A1Q.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
27、16,AA1AC1，M，Q分别是CC1，AC的中点， RtAA1QRtCAM， MACQA1A， MACAQA1QA1AAQA190， AMA1Q. N，Q分别是BC，AC的中点，NQAB. 又ABAC，NQAC. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC， NQAA1.,又ACAA1A，AC，AA1平面ACC1A1， NQ平面ACC1A1， NQAM. 由NQAB和ABA1B1可得NQA1B1， N，Q，A1，P四点共面， A1Q平面PNQ. NQA1QQ，NQ，A1Q平面PNQ， AM平面PNQ， 无论取何值，总有AM平面PNQ.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
28、2,13,14,15,16,(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，,设n(x，y，z)是平面PMN的法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令x3，得y12，z22， n(3，12，22)是平面PMN的一个法向量. 取平面ABC
29、的一个法向量为m(0，0，1). 假设存在符合条件的点P，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,化简得421410，,满足平面PMN与平面ABC的夹角为60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,A.1 B.2 C.13 D.26,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设平面ABCD的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，BCD120，四边形A
30、CFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.,(1)求证：EF平面BCF；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 设ADCDBC1， ABCD，BCD120，AB2， AC2AB2BC22ABBCcos 603， AB2AC2BC2，则BCAC. CF平面ABCD，AC平面ABCD， ACCF，而CFBCC，CF，BC平面BCF， AC平面BCF. EFAC， EF平面BCF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，,设n(x，y，z)为平面MAB的法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,易知m(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，,
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