1、5.4 平面向量的综合应用,第五章 平面向量与复数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：,ZHISHISHULI,x1y2x2y10,x1x2y1y20,ab,ab0,(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤,2.向量在解析几何中的应
2、用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.,3.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角). 4.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.,矢量,加法和减法,1.根据你对向量知识的理解，你认为
3、可以利用向量方法解决哪些几何问题？,【概念方法微思考】,提示 (1)线段的长度问题. (2)直线或线段平行问题. (3)直线或线段垂直问题. (4)角的问题等.,2.如何用向量解决平面几何问题？,提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),1,2,3,4,5,6,基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(1，4
4、)，则该三角形为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,ABC为直角三角形.,1,2,3,4,5,6,x2y40,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5,1,2,3,4,5,6,6,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 向量在平面几何中的应用,师生共研,12,方法二 如图，建立平面直角坐标系xAy. 依题意，可设点D(m，m)， C(m2，m)，B(n,0)， 其中m0，n0，,得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)， 所以n(m2)2nm，化简得m2.,9,以
5、点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，,3x212x3y26y45 3(x2)2(y1)210.,向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示. (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.,A.3 B.4 C.5 D.6,O 是ABC 的外接圆的圆心，,解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2).,当且仅当x0，y1时等号成立.,题型二 向量在解析几何中的应用,师生共研,解析 方法一 因为
6、点P在圆O：x2y250上，,因为A(12,0)，B(0,6)，,如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点， P在圆O上且满足2xy50， 点P在 上.,向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.,所以(x，ym)(x，ym)0
7、， 所以x2y2m20，所以m2x2y2， 由于x2y2表示圆C上的点到原点距离的平方， 所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M， 此时m2最大，m也最大. |OM|123，MOx60，,题型三 向量的其他应用,多维探究,命题点1 向量在不等式中的应用,3,得ABACcos A9， 由面积为6，得ABACsin A12，,所以ABAC15，所以AB5，AC3，BC4.,(1)求角B的大小；,命题点2 向量在解三角形中的应用,因为A，C(0，)， 所以AC.在等腰ABC中，ABC，,(2)求ABC的面积.,利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行
8、转化，使问题的条件结论明晰化.,(1)求C的大小；,解 因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0， 所以ccos B(b2a)cos C0， 在ABC中，由正弦定理得， sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0， sin A2sin Acos C， 又sin A0，,又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12. ,3,课时作业,PART THREE,1.在ABC中， 则ABC的形状一定是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A
9、.48 B.36 C.24 D.12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，在边AB(或取延长线)上取点B，使得AB1，在边AC(或取延长线)上取点C，使得AC1， 由题意结合平面向量的运算法则可知,而ABAC，故ABAC. 即ABC为等腰三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f (x)x2|a|xab，设a和b的夹角为， 因为f
10、(x)有极值， 所以|a|24ab 0， 即|a|24|a|b|cos 0，,5.过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若 则抛物线的方程为 A.y28x B.y24x C.y216x D.y2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|AF|AC|，ABC30，,故抛物线的方程为y24x.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9
11、,10,11,12,13,14,15,16,以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由对勾函数性质可知，当1时可取得最大值，,解析 设CAB，ABBCa， 由余弦定理得a216a28acos ，acos 2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向 量a与b的夹角是_.,解析 由
12、已知可得|a|24ab0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，,因为点P在圆x2(y5)225上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出图形如图所示.由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y1. 设抛物线的准
13、线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P. 由题意得NPMNOF，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求点D的坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,化为(x1)2(y2)21. ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又点C在第二象限，C(1,3).,解得a3，b1. D(3,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
14、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 mn，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 圆心O是直径AB的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为AB8，且H为弦AB上一动点， 所以9x2y225， 其中当取AB的中
15、点时取得最小值，,解析 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 设点H(x，y)，则B(5,0)，C(5,0)，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，,由图知当点P在点C时，,此时xy有最大值5， 同理当点P在与C相对的下顶点时有,此时xy有最小值5.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知可得ab|a|b|cos 2，,
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