1、4.6 正弦定理和余弦定理,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,知识梳理,ZHISHISHULI,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a，b和
2、A时，解的情况,3.三角形常用面积公式,1.在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?,提示 在ABC中，由AB可推出sin Asin B.,2.如图，在ABC中，有如下结论：bcos Cccos Ba.试类比写出另外两个式子.,提示 acos Bbcos Ac； acos Cccos Ab.,【概念方法微思考】,(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ),基础自测,JICHUZICE,1,
3、2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 .,1,2,3,4,5,6,等腰三角形或直角三角形,解析 由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.,3.在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积为 .,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,解析 由已知及正弦定理得sin
4、C0，cos B0，B为钝角， 故ABC为钝角三角形.,1,2,3,4,5,6,5.(2018桂林质检)在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,1,2,3,4,5,6,6.(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b c2a,3sin A5sin B，则C .,解析 由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 利用正弦、余弦定理解三角形,师生共研,(1)求角B
5、的大小；,(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.,(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.,又0B180，则B150.,跟踪训练1 (1)(2018天津河西区模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Bsin2Csin2A sin Asin C，则B的大小为 A.30 B.60 C.120
6、 D.150,题型二 和三角形面积有关的问题,例2 (2018济南模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Aacos B2c. (1)证明：tan B3tan A；,师生共研,证明 根据正弦定理，由已知得 sin Bcos Acos Bsin A2sin C2sin(AB)， 展开得sin Bcos Acos Bsin A2(sin Bcos Acos Bsin A)， 整理得sin Bcos A3cos Bsin A， 所以tan B3tan A.,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,解析 c2(ab)26，c2a2b22ab
7、6. ,由得ab60，即ab6.,题型三 正弦定理、余弦定理的应用,命题点1 判断三角形的形状 例3 (1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形,多维探究,因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc， 从而ABC为等腰三角形. 方法二 由正弦定理可得sin A2sin Bcos C， 因此sin(BC)2sin Bcos C， 即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C， 于是sin(BC)0，因此BC0，即BC， 故ABC为等腰三角形.,(2
8、)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,解析 由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即sin(A)sin2A，sin Asin2A. A(0，)，sin A0，sin A1，,1.本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状.,解 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0. 又A，B为AB
9、C的内角. AB，ABC为等腰三角形.,2.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB， 故ABC为等边三角形.,命题点2 求解几何计算问题,(1)求sinABD的值；,解 因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k.,所以AD2，AB3，,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用
10、正弦定理或余弦定理.,A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形,2a2a2c2b2，a2b2c2， ABC为直角三角形.,4,又ACD是锐角，,3,课时作业,PART THREE,1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a ，b3，A60，则边c等于 A.1 B.2 C.4 D.6,解析 a2c2b22cbcos A， 13c292c3cos 60， 即c23c40， 解得c4或c1(舍去).,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2
11、，b2 ，C30，则B等于 A.30 B.60 C.30或60 D.60或120,B60或B120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018南昌模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,同理可得BC.ABC的形状为等边三角形.故选A.,1,2,3,4,5,6
12、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018合肥质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为 A.4 B.8 C.9 D.36,所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
13、,11,12,13,14,15,16,解析 因为sin A，sin B，sin C成等比数列， 所以sin2Bsin Asin C， 由正弦定理得b2ac， 又c2a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得b1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,
14、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018珠海模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A. (1)证明：sin Bcos A；,又A(0，)，sin A0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由(1)知，sin Bcos A，,(1)求A；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求AC边上的高.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 在ABC中，,A.不等腰的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D
15、.正三角形,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018大理模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B bcos A.若a4，则ABC周长的最大值为_.,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)， ABC的周长labc4bc12， 即最大值为12.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求角A和角B的大小；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又sin B1cos C,0sin B1， cos C0，即C为钝角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求ABC的面积.,
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