1、5.3 平面向量的数量积,第五章 平面向量与复数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .,ZHISHISHULI,AOB,0，
2、,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab) . (3)(ab)c .,a(b),acbc,4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.,ab0,x1x2y1y20,|a|b|,1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？ 提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos ，而b在a方向上的投影为|b|cos ，其中为a与b的夹角. 2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定.当夹角为0时，数量积也大于0.
3、,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是 ( ) (6)若ab0，则a和b的夹角为钝角.( ),1,2,3,4,5,6,基础自测,JICHUZICE,题组二 教材改编 2.已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.,1,2,3,4,5,6,12,解析 2ab(4,2)(1，k)(5,
4、2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,3.已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_.,2,解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cos 4cos 1202.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,1,2,3,4,5,6,方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b| 又AOB60，所以|a2b|2 .,1,2,3,4,5,6,解析 a，bb，ca，c120，|a|b
5、|c|1，,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面向量数量积的基本运算,1.已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于 A.8 B.10 C.11 D.12,自主演练,解析 a(x,1)，b(2,4)， ab(x2,5)， 又(ab)b， (x2)(2)200， x12.,2.(2018全国)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)等于 A.4 B.3 C.2 D.0,解析 a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1，ab1， 原式21213.,解析 如图，,D，E是边BC的两个三等分点，,平面向量数量积的三种运算方法 (1)
6、当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.,题型二 平面向量数量积的应用,命题点1 求向量的模 例1 (1)(2019永州模拟)在ABC中，BAC60，AB5，AC6，D是,多维探究,A.1 B.2 C.3 D.4,解析 如图所示，,(2)设向量a，b，c满足|a|b|2，ab2，ac，bc60，则|c|的最大值为 A.4 B.2 C. D.1,解析 因为|a|b|2，ab2，,所以ACB60，所以AOBACB180， 所
7、以A，O，B，C四点共圆.,命题点2 求向量的夹角 例2 (1)(2018烟台模拟)已知|a|1，|b|2，|a2b|，则向量a，b的夹角为 (用弧度表示)_.,(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若 e1e2与e1e2的夹角为60，则实 数的值是_.,解析 由题意知|e1|e2|1，e1e20，,(1)求解平面向量模的方法,(2)求平面向量的夹角的方法,解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.,跟踪训练1 (1)(2018郑州模拟)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|_.,解析 |2ab|1， |2ab|24a24abb21， 44|b|cos 30b21，,
8、解析 a(ab)，,题型三 平面向量与三角函数,(1)求ab及|ab|；,师生共研,cos x0，|ab|2cos x.,(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值.,当cos x1时，f(x)取得最大值1.,平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,(1)若mn，求tan x的值；,所以sin xcos x，所以tan
9、x1.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据向量数量积的定义式可知，若ab0， 则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角， 则一定有ab0， 所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.,2.(2019西北师大附中冲刺诊断)已知向量a(1,1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值为 A.1 B.1 C.2 D.2
10、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 向量a(1,1)，b(2，3)， 则ka2b(k4，k6). 若ka2b与a垂直，则k4k60， 解得k1.故选B.,则(ab)2a2b22ab 52ab5， 可得ab0，结合|a|1，|b|2， 可得(2ab)24a2b24ab448，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018东三省三校模拟)非零向量a，b 满足：|ab|a|，a(ab)0，则a b 与b 夹角的大小为 A.135 B.120 C.60 D.45,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、11,12,13,14,15,16,解析 非零向量a，b满足a(ab)0， a2ab，由|ab|a| 可得，,135，故选A.,5.(2019咸阳模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018钦州质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则 的取值范围是 A.1,0 B.1,2 C.1,3 D.1,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示， 由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x1)2(y
12、1)2 1(0x2,0y2). 可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x(2x)y2(x1)2y21，,解析 (ab)babb27， ab7b23. 设向量a与b的夹角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得ab1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,解析 如图，建立平面直角坐标系， 则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
13、15,16,10.(2018河北省衡水中学模拟)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2且ab1，若e为平面单位向量，则(ab)e的最大值为_.,解析 由|a|1，|b|2，且ab1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 所以644ab2761， 所以ab6，,(2)求|ab|；,1,2,3,4,
14、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 设BC的中点为D，AD的中点为E，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,
15、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
浙公网安备33030202001339号