2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明分层演练理含解析新人教A版选修
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2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明分层演练理含解析新人教A版选修
1、第2讲 不等式的证明1(2019安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式:f(x)f(x1)2;(2)若a0,求证:f(ax)af(x)f(2a)解:(1)由题意,得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1时,原不等式等价于2x32,即x1;当1x2时,原不等式等价于12,即12时,原不等式等价于2x32,即2x.综上,原不等式的解集为.(2)证明:由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a),所以f(ax)af(x)f(2a)成立2求证:2.证明:因为,所以1122.3已知函数f(
2、x)ax2bxc(a,b,cR),当x1,1时,|f(x)|1.(1)求证:|b|1;(2)若f(0)1,f(1)1,求实数a的值解:(1)证明:由题意知f(1)abc,f(1)abc,所以bf(1)f(1)因为当x1,1时,|f(x)|1,所以|f(1)|1,|f(1)|1,所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1,f(1)1可得c1,b2a,所以f(x)ax2(2a)x1.当a0时,不满足题意,当a0时,函数f(x)图象的对称轴为x,即x.因为x1,1时,|f(x)|1,即|f(1)|1,所以|2a3|1,解得1a2.所以0,故|f|a(2a)1|1.整理得|
3、1|1,所以111,所以20,又a0,所以0,所以0,所以a2.4设a,b,c(0,),且abc1.(1)求证:2abbcca;(2)求证:2.证明:(1)要证2abbcca,只需证14ab2bc2cac2,即证1(4ab2bc2cac2)0,而1(4ab2bc2cac2)(abc)2(4ab2bc2cac2)a2b22ab(ab)20成立,所以2abbcca.(2)因为,所以abc2a2b2c2(当且仅当abc时,等号成立)5已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8;(2)若|a|1,|b|a|f.解:(1)f(x)f(x4)|x1|x3|当x1时,由2x28,解得x3.
4、所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x5或x3(2)证明:f(ab)|a|f,即|ab1|ab|.因为|a|1,|b|0,所以|ab1|ab|.故所证不等式成立1(2019武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)|x2|2x3,记f(x)1的解集为M.(1)求M;(2)当xM时,证明:xf(x)2x2f(x)0.解:(1)由已知,得f(x)当x2时,由f(x)x11,解得x0,此时x0;当x2时,由f(x)3x51,解得x,显然不成立故f(x)1的解集为Mx|x0(2)证明:当xM时,f(x)x1,于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x.令g(x),则函数g(x)在(,0
5、上是增函数,所以g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.2(2019沈阳模拟)设a,b,c0,且abbcca1.求证:(1)abc.(2)()证明:(1)要证abc,由于a,b,c0,因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1,故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca),即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2).在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立,只需证明,即证abc1,即证abcabbcca.而a,b,c,所以abcabbcca(当且仅当abc时等号成立)所以原不等式成立3已知a,b,c均为正实数求证:(1)(ab)(abc2)4abc;(2)若abc3,则3.证明:(1)要证(ab)(abc2)4abc,可证a2bac2ab2bc24abc0,需证b(a2c22ac)a(c2b22bc)0,即证b(ac)2a(cb)20,当且仅当abc时,取等号,由已知,上式显然成立,故不等式(ab)(abc2)4abc成立(2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知,当且仅当a12时,取等号,当且仅当b12时,取等号,当且仅当c12时,取等号,以上三式相加,得()6,所以3,当且仅当abc1时,取等号5