1、第4讲 直线、平面平行的判定及其性质基础达标1在空间内，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确2设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而mD/
2、；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m”是“”的必要而不充分条件3(2019杭州中学高三期中)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，则n解析：选C.对于A，若，则与平行或相交；对于B，若mn，m，n，则与平行或相交；对于D，若mn，m，则n或n在平面内4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边
3、形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG.所以四边形EFGH是梯形5如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论不正确的是()AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D是棱台解析：选D.因为EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，所以EH平面BCGF，又因为FG平面BCGF，所以EHF
4、G，故A正确；因为B1C1平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，所以B1C1EF，则EHEF，又由上面的分析知，EFGH为平行四边形，故它是矩形，故B正确；因为EHB1C1FG，故是棱柱，故C正确6(2019杭州二中期中考试)如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，则()ABF平面ACGDBCF平面ABEDCBCFGD平面ABED平面CGF解析：选A.取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綊FM，因为平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，所以A
5、BDE，所以ABFM.又ABDE，所以ABFM，所以四边形ABFM是平行四边形，即BFAM.又BF平面ACGD，所以BF平面ACGD.故选A.7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_解析：在平面ABD中，所以MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BCD.答案：平行8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，所以F为DC的中点故EFAC.答案：9(2019宁波效
6、实中学模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，所以平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，所以MN平面B1BDD1.答案：M位于线段FH上(答案不唯一)10在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是_解析：如图，取AB，C1D
7、1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF平面BPC1.在A1EF中，A1FA1E，EF2，SA1EF2，从而所得截面面积为2SA1EF2.答案：211如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明：(1)因为AEB1G1，所以BGA1E2，因为BGA1E，所以A1GBE.又因为C1F綊B1G，所以FGC1B1D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形所以A1GD1F，所以D1FEB，故E、B、F、D1四
8、点共面(2)因为H是B1C1的中点，所以B1H.又B1G1，所以.又，且FCBGB1H90，所以B1HGCBF，所以B1GHCFBFBG，所以HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，所以平面A1GH平面BED1F. 12如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A
9、1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以1时，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.因此BC1D1O，同理AD1DC1.所以，.又因为1，所以1，即1.能力提升1如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BE
10、BF是定值其中正确的个数是()A1B2C3D4解析：选C.由题图知，显然是正确的，是错的；对于因为A1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积V)所以SBEFBCV，即BEBFBCV.所以BEBF(定值)，即是正确的，故选C.2(2019杭州二中模拟)已知两个不重合的平面，给定以下条件：内不共线的三点到的距离相等；l，m是内的两条直线，且l，m；l，m是两条异面直线，且l，l，m，m.其中可以判定的是()ABCD解析：选D.中，内的三点中如果一点在平面的一侧，另两点在平面的另一侧，也可满足这三点到的距离相等
11、，所以不符合题意中，l与m平行时，与也可能相交中，如图所示，过直线l作一平面，设a，b.因为l，l，所以la，lb，所以ab，所以.过直线m作一平面，设c，d.因为m，m，所以mc，md，所以cd，所以c.因为l，m是两条异面直线，所以a，c必相交，所以，所以符合题意3在ABC中，AB5，AC7，A60，G是重心，过G的平面与BC平行，ABM，ACN，则MN_解析：根据余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A39，所以BC.因为BC，MN平面ABC，所以MNBC，又G是ABC的重心，连接AG交BC于D，所以，则MN.答案：4(2019温州中学高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1
12、C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_解析：因为平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因为B1D1BD，所以BDPQ，设PQABM，因为ABCD，所以APMDPQ.所以2，即PQ2PM.又知APMADB，所以，所以PMBD，又BDa，所以PQa.答案：a5(2019杭州学军中学高三模拟)如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，
13、F，G.(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高解：(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDECAB，且SCDES，所以S四
14、边形ABEDS.由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.6如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.(1)求证：A1ED1F；(2)判断A1D与平面的关系解：(1)证明：过点E分别作EMAB于点M，END1C1于点N.设MHm，NFn.因为EFGH是正方形，所以EFEHHF.又在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA18，BC10.所以102n282m210282(mn)2解得n0，m6.所以N与F重合所以A1ED1ND1F.(2)由(1)知，A1DEG.又A1EDG.所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形，即A1D与EG相交又EG.所以直线A1D与平面相交10
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