1、第6讲 双曲线基础达标1若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx解析：选B.由条件e，即，得13，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选B.2已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为ykx(k0)，离心率ek，则双曲线方程为()A1B1C1D1解析：选C.由已知得，所以a24b2.3(2019杭州学军中学高三质检)双曲线M：x21的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|c2，则点P的横坐标为()ABCD解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|PF2|2，则|
2、PF2|PF1|2c，又|OP|c，F1PF290，由勾股定理可得(c2)2c2(2c)2，解得c1.易知POF2为等边三角形，则xP，选项A正确4(2019杭州中学高三月考)已知F1、F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为()AB3CD2解析：选D.由题意，F1(c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为yx，则F2到渐近线的距离为b.设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，所以|MF2|2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，所以OAF1M，所以F1MF2为直角，所以MF1F2
3、为直角三角形，所以由勾股定理得4c2c24b2，所以3c24(c2a2)，所以c24a2，所以c2a，所以e2.故选D.5(2017高考全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因
4、为点A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.6(2019浙江高中学科基础测试)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y220x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|17，则双曲线的离心率为()ABCD解析：选B.由题意知F(5，0)，不妨设P点在x轴的上方，由|PF|17知点P的横坐标为17512，则其纵坐标为4，设双曲线的另一个焦点为F1(5，0)，则|PF1|23，所以2a|PF1|PF|23176，所以a3，所以e，故选B.7(2019宁波市余姚中学高三期中)已知曲线1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围
5、是_；当曲线表示双曲线时k的取值范围是_解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2k2，所以k1或k2；当曲线表示双曲线时，k2k0，所以0k1.答案：k1或k20k18(2019金华十校联考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则P到x轴的距离为_解析：F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为|x0|2.答案：29(2019瑞安四校联考)设双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与直线x分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若60AFB90，则该双曲线
6、的离心率的取值范围是_解析：双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设A，B，因为60AFB90，所以kFB1，所以1，所以1，所以1，所以1e213，所以e0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.12已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x
7、，设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，因为tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.能力提升1(2019舟山市普陀三中高三期中)过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若，则双曲线的离心率是()ABCD解析：选C.直线l：yxa与渐近线l1：bxay0交于B，l与渐近线l2：bxay0交于C，A(a，0)，所以，因为，所以b2a，所以c2a24a2，所以e25，所以e，故选C.2(2019
8、宁波高考模拟)如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，则C1与C2的离心率之和为()A2B4C2D2解析：选A.F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，可得A，B，代入椭圆方程可得1，可得1，可得e48e240，解得e1.代入双曲线方程可得：1，可得：1，可得：e48e240，解得e1，则C1与C2的离心率之和为2.故选A.3设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的
9、取值范围是_解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2x轴时，|PF1|PF2|有最大值8；当P为直角时，|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)答案：(2，8)4(2019温州十五校联合体联考)过点M(0，1)且斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的两渐近线交于点A，B，且2，则直线l的方程为_；如果双曲线的焦距为2，则b的值为_解析：直线l的方程为yx1，两渐近线的方程为yx.其交点坐标分别为，.由2，得xB2xA.若，得a3b，由a2b210b210得b1，若，得a3b(舍去)答案：yx115
10、已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB的面积等于6，求直线l的方程解：(1)依题意，b，2a1，c2，所以双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，则k1.所以直线l的方程为yx2或yx2.
11、6已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切解：(1)依题意有，c，因为a2b2c2，所以c2a，所以a1，c2，所以b23，所以双曲线C的方程为x21.(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，所以x1x2m，x1x2，又因为1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，所以m0(舍)或m2，所以x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，因为(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，所以ADAB，所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，因为点M的横坐标为1，所以MAx轴，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切8
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