1、第10讲 圆锥曲线的综合问题基础达标1已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1.过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示(1)求椭圆E的方程；(2)判断ABCD能否为菱形，并说明理由解：(1)依题，令椭圆E的方程为1(ab0)，c2a2b2(c0)，所以离心率e，即a2c.令点A的坐标为(x0，y0)，所以1，焦点F1(c，0)，即|AF1|x0a|，因为x0a，a，所以当x0a时，|AF1|minac，由题ac1，结合上述可知a2，c1，所以b23，于是椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(
2、1，0)，直线AB不能平行于x轴，所以令直线AB的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2.连接OA、OB，若ABCD是菱形，则OAOB，即0，于是有x1x2y1y20，又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，所以有(m21)y1y2m(y1y2)10，得到0，可见m没有实数解，故ABCD不能是菱形2(2019金华十校第二期调研)已知抛物线C：yx2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；(2)求|AB|的最小值解：(1
3、)设直线AB的方程：yxm，则1，所以m0或m4，所以直线AB的方程为yx或yx4.(2)设直线AB的方程为ykxm，则1，所以k21(m2)2.由，得x2kxm0，所以x1x2k，x1x2m，所以|AB|24x1x2，记f(m)(m23)，所以f(m)2(m2)(2m22m3)，又k211，所以m1或m3，当m时，f(m)0，f(m)单调递减，当m时，f(m)0，f(m)单调递增，f(m)minf(1)4，所以|AB|min2.3(2019宁波市高考模拟)已知椭圆方程为y21，圆C：(x1)2y2r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；(2)如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆
4、C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围解：(1)设P(x，y)，|PC|，由2x2，当x时，|PC|min.(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0), 由，整理得：，则kAB，kMC，kMCkAB1，则kMCkAB1，解得：x0，由M在椭圆内部，则y1，解得：y，由：r2(x01)2yy，所以r2，解得：r.所以半径r的取值范围为(，) .4已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为
5、坐标原点)解：(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点M代入直线方程ymx解得b.由得m.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d .设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.5(2019湘中名校联考) 如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，
6、B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2.所以a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，因为直线l过点B，所以x1是方程(*)的一个根由根与系数的关系，得xP，从而yP，所以点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k
7、1，k22k)所以(k，4)，k(1，k2)因为APAQ，所以0，即k4(k2)0.因为k0，所以k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意故直线l的方程为y(x1)6.(2019学军中学高三模拟)已知椭圆y21(a1)，过直线l：x2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设O为坐标原点，求POA面积的最小值解：(1)当P点在x轴上时，P(2，0)，PA：y(x2)，()x22x10，0a22，椭圆方程为y21.(2)设切线为ykxm，设P(2，y0)，A(x1，y1)，则(12k2)x24kmx2m2200m22k21，且x1，y1，y
8、02km，则|PO|，PO直线为yxA到直线PO距离d，则SPOA|PA|d|y0x12y1|(2km)|m|km|k|，所以(Sk)212k2k22SkS210，8S240S，此时k，所以POA面积的最小值为.能力提升1(2019浙江高考冲刺卷)已知椭圆E：1(ab0)，点F，B分别是椭圆的右焦点与上顶点，O为坐标原点，记OBF的周长与面积分别为C和S.(1)求的最小值；(2)如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点，过点F作l的垂线，交直线x3b于点R，当取最小值时，求的最小值解：(1)OBF的周长Cbc.OBF的面积Sbc.22，当且仅当bc时，的最小值为22.(2)由(1)得当且仅当bc
9、时，的最小值为22.此时椭圆方程可化为 1.依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为xmyc.联立，整理得：(2m2)y22mcyc20.y1y2，y1y2，|PQ|2c.当m0时，PQ垂直横轴，FR与横轴重合，此时|PQ|c，|FR|3bc2c，.当m0时，设直线FR：ym(xc)，令x3c得R(3c，2mc)，|FR|2c，2c()2，综上所述：当且仅当m0时，取最小值为.2(2019杭州市第一次高考数学检测)设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB1.若(0)(1)求点C的轨迹；(2)过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得恒成立，并说明理由解：(1)设A(a，0)，B(0，c)，C(x，y)，则(a，c)，(xa，y)所以，消去a，c，得点C的轨迹为1.(2)设点E，F，K的横坐标分别为xE，xF，xK，设点D(s，t)，则直线PQ的方程为xy1.设直线m的方程：ykxb，所以tksb.计算得xK.将直线m代入椭圆方程，得x2x10，所以xExF，xExF，所以2.验证当m的斜率不存在时成立故存在实数t2，使得恒成立8
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