1、第2课时 导数与函数的极值、最值 基础达标1(2019宁波质检)下列四个函数中，在x0处取得极值的函数是()yx3；yx21；y|x|；y2x.ABCD解析：选D.中，y3x20恒成立，所以函数在R上递增，无极值点；中y2x，当x0时函数单调递增，当x0时函数单调递减，且y|x00，符合题意；中结合该函数图象可知当x0时函数单调递增，当x0时函数单调递减，且y|x00，符合题意；中，由函数的图象知其在R上递增，无极值点，故选D.2函数y在0，2上的最大值是()ABC0D解析：选A.易知y，x0，2，令y0，得0x1，令y1，所以函数y在0，1上单调递增，在(1，2上单调递减，所以y在0，2上的
2、最大值是y|x1，故选A.3设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()解析：选D.因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0；选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.4函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则xx等于()ABCD解析：选C.函数f(x)的图象过原点，所以d0.又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x)x3x22x，所以f(x)3x22x2，由题意知
3、x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2.5已知函数f(x)x33x29x1，若f(x)在区间k，2上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A3，)B(3，)C(，3)D(，3解析：选D.由题意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在区间k，2上的最大值为28，所以k3.6已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范
4、围为()A(，eB0，eC(，e)D0，e)解析：选A.f(x)k(x0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，)内单调递增所以g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke，选A.7已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)的极大值与极小值之差为_解析：因为y3x26ax3b，所以y3x26x，令3x26x0，则x0或x2.所以f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：48设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)，则g(x)的最小值为_
5、解析：对f(x)ln x求导，得f(x)，则g(x)ln x，且x0.对g(x)求导，得g(x)，令g(x)0，解得x1.当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)ln x在(0，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数g(x)ln x在(1，)上单调递增所以g(x)ming(1)1.答案：19(2019台州市高三期末考试)已知函数f(x)x23xln x，则f(x)在区间，2上的最小值为_；当f(x)取到最小值时，x_解析：f(x)2x3(x0)，令f(x)0，得x或x1，当x，1时，f(x)0，x1，2时，f(x)0，所以f(x)在区间，1上单调递减，在区间1，2上单调递增，所以当
6、x1时，f(x)在区间，2上的最小值为f(1)2.答案：2110(2019义乌模拟)已知函数f(x)ln xnx(n0)的最大值为g(n)，则使g(n)n20成立的n的取值范围为_解析：易知f(x)的定义域为(0，)因为f(x)n(x0，n0)，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.设h(n)g(n)n2ln nn1.因为h(n)10，所以h(n)在(0，)上单调递减又h(1)0，所以当0nh(1)0，故使g(n)n20成立的n的取值范围为(0，1)答案：(0，1)11已知函数f(x)ax2bln x在点A(1
7、，f(1)处的切线方程为y1.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)2ax，f(1)a1，f(1)2ab0，将a1代入2ab0，解得b2.(2)由(1)得f(x)x22ln x(x0)，所以f(x)2x，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1，选择A.2(2019浙江东阳中学期中检测)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，
8、使得f(x0)0，则a的取值范围是_解析：设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题意存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线yaxa的下方，因为g(x)ex(2x1)，所以当x时，g(x)时，g(x)0，所以当x时，g(x)min2e，当x0时，g(0)1，g(1)e0，直线yaxa恒过(1，0)，斜率为a，故ag(0)1，且g(1)3e1aa，解得a1.答案：a0在3，)上恒成立，所以f(x)在3，)上为增函数，故a0符合题意当a0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax10对x3恒成立，故只能a0，所以2ax2(14a)x(4a22)0在3，)上恒成立令函数g(x)2ax2(14a)x(4a22)，其对称轴为x1，因为a0，所以10，所以00)，则h(x)12x，所以当0x0，从而函数h(x)在(0，1)上为增函数，当x1时，h(x)0，所以bxh(x)0，因此当x1时，b取得最大值0.8
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