1、第7讲 正弦定理与余弦定理基础达标1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2ac,c2a,则cos C()ABCD解析:选B.由题意得,b2ac2a2,ba,所以cos C,故选B.2已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcos Cc(13cos B),则sin Csin A()A23B43C31D32解析:选C.由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B,3sin(BC)sinC,因为ABC,所以BCA,所以3sin Asin C,所以sin Csin A31,选C.3在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A,
2、a3,SABC2,则b的值为()A6B3C2D2或3解析:选D.因为SABC2bcsin A,所以bc6,又因为sin A,所以cos A,又a3,由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24,b2c213,可得b2或b3.4在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsin Aacos B0,且b2ac,则的值为()ABC2D4解析:选C.在ABC中,由bsin Aacos B0,利用正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0,所以tan B,故B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac,即b2(ac)23ac,又b2ac,所以4b2(ac)2,求得
3、2.5(2019杭州市高三期末检测)设点P在ABC的BC边所在的直线上从左到右运动,设ABP与ACP的外接圆面积之比为,当点P不与B,C重合时()A先变小再变大B当M为线段BC中点时,最大C先变大再变小D是一个定值解析:选D.设ABP与ACP的外接圆半径分别为r1,r2,则2r1,2r2,因为APBAPC180,所以sinAPBsinAPC,所以,所以.故选D.6在ABC中,|3,则ABC面积的最大值为()ABCD3解析:选B.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为|3,所以bccos Aa3.又cos A11,所以cos A,所以0sin A,所以ABC的面积Sbcsin Atan A
4、,故ABC面积的最大值为.7在ABC中,A,b2sin C4sin B,则ABC的面积为_解析:因为b2sin C4sin B,所以b2c4b,所以bc4,SABCbcsin A42.答案:28若锐角ABC的面积为10,且AB5,AC8,则BC等于_解析:由面积公式,得SABACsin A10,所以sin A.因为 A(0,),所以A.由余弦定理,得BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos49,所以BC7.答案:79(2019温州市高考模拟)在ABC中,内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,记S为ABC的面积,若A60,b1,S,则c_,cos B_解析:因为A60,b1
5、,Sbcsin A1c,所以解得c3.由余弦定理可得a,所以cos B.答案:310(2019金丽衢十二校联考模拟)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,acos Bbcos A,4S2a2c2,其中S是ABC的面积,则C的大小为_解析:ABC中,acos Bbcos A,所以sin Acos Bsin Bcos A,所以sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)0,所以AB,所以ab;又ABC的面积为Sabsin C,且4S2a2c2,所以2absin C2a2c2a2b2c2,所以sin Ccos C,所以C.答案:11在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的
6、对边,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin Bsin C1,试判断ABC的形状解:(1)由题意知,根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A,故cos A,A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1,故sin Bsin C.因为0B90,0C0,则cos B,故a5.(2)由(1)知,sin B,由Sacsin B9,得c6.由b2a2c22accos B13,得b.故ABC的周长为11.能力提升1在ABC中,角A,B,C
7、的对边分别是a,b,c,若b1,a2c,则当C取最大值时,ABC的面积为()ABCD解析:选B.当C取最大值时,cos C最小,由cos C,当且仅当c时取等号,且此时sin C,所以当C取最大值时,ABC的面积为absin C2c1.2在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,a,a2.若b1,3,则c的最小值为()A2B3C2D2解析:选B.由a,得sin C由余弦定理可知cos C,即3cos Csin C,所以tan C,故cos C,所以c2b22b12(b)29,因为b1,3,所以当b时,c取最小值3.3已知在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,2asin Bb
8、,b2,c3,AD是内角的平分线,则BD_解析:由2asin Bb及正弦定理得2sinBACsin Bsin B,所以sinBAC.因为BAC为锐角,所以BAC.因为AD是内角平分线,所以.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC492237,所以BC,BD.答案:4(2019金华十校联考)设ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若ABC的三个内角大小满足ABC345,则的值为_解析:在ABC中,ABC,又ABC345,所以A,B,C.由正弦定理2R(a、b、c为ABC中角A、B、C的对边,R为ABC的外接圆半径)可得,ac,bc,R.所以S1absin Cc2sin Csin
9、 Asin Bsin C,S2R2,所以.答案:5(2019浙江省名校协作体高三联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c2,C.(1)当2sin 2Asin(2BC)sin C时,求ABC的面积;(2)求ABC周长的最大值解:(1)由2sin 2Asin(2BC)sin C得4sin Acos Asin(BA)sin(AB),得2sin Acos Asin Bcos A,当cos A0时,A,B,a,b,当cos A0时,sin B2sin A,由正弦定理得b2a,联立,解得a,b.故ABC的面积为SABCabsin C.(2)由余弦定理及已知条件可得:a2b2ab4,
10、由(ab)243ab43得ab4,故ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形时取到6(2019杭州市高考模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msin Asin Bsin C(mR)(1)当m3时,求cos A的最小值;(2)当A时,求m的取值范围解:(1)因为在ABC中msin Asin Bsin C,当m3时, 3sin Asin Bsin C,由正弦定理可得3abc,再由余弦定理可得cos A,当且仅当bc时取等号,故cos A的最小值为.(2)当A时,可得msin Bsin C,故msin Bsin Csin Bsinsin Bsin Bcos Bsin Bsin Bcos B2sin,因为B,所以B,所以sin,所以2sin(1,2,所以m的取值范围为(1,28