1、第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例基础达标1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2. 如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在它的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，AB的距离是84 m，则塔高CD为()A24 mB12 mC12 mD36 m解析：选C.设塔高CDx m，则ADx m，DBx m在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)
2、22x2cos 150，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A海里/小时B34海里/小时C海里/小时D34海里/小时解析：选C.如图所示，在PMN中，PM68，PNM45，PMN15，MPN120，由正弦定理，得，所以MN34，所以该船的航行速度为海里/小时4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45C60D75解析：选B.依题意可得AD20(
3、m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5(2019杭州调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A9 hB10 hC11 hD12 h解析：选B.记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45，根据余弦定理得4002400t2220t4003002，即t220t1750，
4、解得105t105，所以所求时间为10510510(h)，故选B.6(2019绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当ABC面积最大时，腰AB长为()A6B6C4D4解析：选D.如图所示，设D为AC的中点，由余弦定理得cos A，在ABD中，BD2b22b，可得2a2b2144，设BC边上的高为h，所以Sahaa ，所以，当a232时，S有最大值，此时，b21442a280，解得b4，即腰长AB4.故选D.7如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则
5、AC的长为_km.解析：由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.答案：78(2019嘉兴高三模拟) 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为cos ，0BC10，cos 60(ABAC)21003ABAC，而ABAC，所以，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10，20能力提升1. A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里
6、的两个观测点现位于A点北偏东45、B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为()A1小时B2小时C(1)小时D小时解析：选A.由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB45，所以ADB105，在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)2. 如图，某住宅小区的
7、平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50 米B50 米C50米D50 米解析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50 .3(2019瑞安四校联考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acos Bbcos Ac，当tan(AB)取最大值时，
8、角B的值为_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B)，整理得sin Acos B3cos Asin B，即tan A3tan B，易得tan A0，tan B0，所以tan(AB)，当且仅当3tan B，即tan B时，tan(AB)取得最大值，所以B.答案：4如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x2
9、10x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BCsin 308.答案：85. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解：(1)设BCx，由条件可知ACx340x40，在ABC中，BC2AB2AC22ABACco
10、s BAC，即x21002(40x)22100(40x)，解得x380，所以AC38040420米，故A，C两地的距离为420米(2)在ACH中，AC420，HAC30，AHC903060，由正弦定理，可得，即，所以HC140，故这种仪器的垂直弹射高度为140米6某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只
11、航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MNOCOMONsin 120，得3cxysin 120，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos 120x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6，当且仅当xy6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.10
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