1、2.7对数函数考情考向分析对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档同时也有综合性较强的解答题出现，难度为中低档1对数函数的定义形如ylogax(a0，a1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质a10a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象比较a，b，c，d与1的大小关系提示0cd1a0且a1)在(0，)上是增函数()(2)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(3)
2、对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()(4)若aman(a0，a1)，则mn.()题组二教材改编2P83例2已知blog2，则a，b，c的大小关系为_答案cab解析0a1，b1.cab.3P85练习T2函数的定义域是_答案解析由得02x11.x1.函数的定义域是.题组三易错自纠4函数f(x)log2(3ax)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_答案(1,3解析由已知可得解得103x11log2(3x1)log210.故f(x)的值域为(0，)6若loga0且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0a1时，logalo
3、gaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，)题型一对数函数的图象例1(1)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案(10,12)解析作出函数f(x)的大致图象如下由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设0abc，则lgalgbc6.lgalgb0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是_答案解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若0
4、x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.引申探究若本例(2)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得01时，直线yxa与yf(x)只有一个交点题型二对数函数的性质命题点1比较对数值的大小例2(1)设alog412，blog515，clog618，则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案abc解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.(2)已知clog3，则a，b，c的大小关
5、系为_(用“”连接)答案abc解析由指数函数的性质可得，0a01,0b递增，alog331，ab1，所以x.(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_答案解析原不等式或解不等式组得x”连接)答案cab解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)x22x，则不等式f(log2x)f(2)的解集为_答案(0,1)(4，)解析二次函数f(x)x22x的对称轴为x1，f(0)f(2)结合二次函数的图象可得log2x2，解得0x4，不等式的解集为(0,1)(4，)题型三对数函数的综合应
6、用例4已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1,4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2)如果对任意的x1,4，不等式f(x2)f()kg(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)f()kg(x)得(34log2x)(3log2x)klog2x.令tlog2x，因为x1,4，所以t0,2，所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立当t0时，kR；当t(0,2时，k恒成立，即k0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(
7、，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)(2)函数f(x)log2的最小值为_答案解析依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.(3)已知函数f(x)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x1时，f(x)1log2x1，当xbc解析因为alog3log331，blog2b，又(log23)21，c0，所以bc，故abc.(2)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_答案abc解析因为alog23lo
8、g2log23log231，blog29log2log23a，clog32c.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是_(填序号)abc；bac；cba；acb.答案解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbaac解析易知yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，所以bac.1函数f(x)lnx的定义域为_答案(0,1解析由题意可得解得0x1，故所求函数的定义域为(0,12设a0.5
9、0.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案cab解析0a0.50.4log0.40.41，clog80.4log810，a，b，c的大小关系是ca1时，由1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.6已知函数f(x)ln，若fff1009(ab)，则a2b2的最小值为_答案2解析f(x)f(ex)2，fff2018，1009(ab)2018，ab2.a2b22，当且仅当ab1时取等号a2b2的最小值为2.7若函数f(x)loga(a0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_答案(0，)解析令Mx2x，当x时，M(1，)，
10、因为f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，则f(x)minloga(82a)1，且82a0，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，知f(x)minloga(8a)1，且82a0.a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.9设实数a，b是关于x的方程|lgx|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_答案(0,1)解析由题意知，在(0,1
11、0)上，函数y|lgx|的图象和直线yc有两个不同交点，ab1,0clg101，abc的取值范围是(0,1)10已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_答案解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故020，且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x0时，(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以x2可化
12、为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以0|x21|4，解得x2，所以x0且a1，b1，若logab1，则下列结论正确的是_(填序号)(a1)(b1)0；(b1)(ba)0.答案解析由a，b0且a1，b1，及logab1logaa可得，当a1时，ba1，当0a1时，0ba0，则实数a的取值范围是_答案解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0a1时，ylogau是减函数，f(x)maxloga2，得a(舍去)故a2.16已知函数f(x)lg.(1)计算：f(2020)f(2020)；(2)对于x2,6，f(x)0，得x1或x1或x1又f(x)f(x)lg0，f(x)为奇函数故f(2020)f(2020)0.(2)当x2,6时，f(x)lg恒成立可化为(x1)(7x)在2,6上恒成立又当x2,6时，(x1)(7x)x28x7(x4)29.当x4时，(x1)(7x)max9，m9.即实数m的取值范围是(9，)14
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