1、第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(
2、1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得MAMO，即(xM2)2yxy，化简，得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取
3、值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1,2，所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以PM(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以P
4、AB的面积SPABPM|y1y2|.因为x1(1x0b0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值解(1)由题意，得acb，则(ac)2b2，结合b2a2c2，得(ac)2(a2c2)，即2c23aca20，亦即2e23e10，结合0e0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2，所以x1x2，因为y1y2k(x1x2)2m，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线yx上，所以2，解得k.所以48(12m2)0，解得2m2，且m
5、0，AB|x2x1|.又原点O到直线l的距离d，所以SOAB.当且仅当12m2m2，即m时等号成立，符合2m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(xM，yM)，则x1,2，即x1x2，x1x2，所以xM，yMxMb，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m.(2)令t，则t2.则AB|x1x2|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小
6、值解(1)由题意，得椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22，因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以AB2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.(1)解设直线l的方程为ykxm(kb0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆
7、C于A，B两点，MAMB，且当直线l垂直于x轴时，AB.(1)求椭圆C的方程；(2)当时，求弦长AB的取值范围解(1)由已知e，得，当直线垂直于x轴时，AB，椭圆过点，代入椭圆方程得1，又a2b2c2，联立可得a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)当过点M的直线的斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，322或32b0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值解(1)由题意，得解得则b2，所以椭
8、圆C的标准方程为1.(2)由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0,4k)，所以直线FN的方程为y(x2)，则N.联立消去y并整理，得(12k2)x216k2x32k2160，解得x14，x2，所以P，直线AN的方程为y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点所以APQ的面积SOA(yPyQ)28，当且仅当2k，即k时，取等号所以APQ的面积的最大值为8.6已知圆G：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(ma)作倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点(1)求椭圆的方程；(2)若，由消去y，整理得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m，m2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1,2，所以x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).(x12，y1)，(x22，y2)，(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.又0，即0，解得0m3.又m2，m3.故m的取值范围是(，3)12
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