1、8.5空间向量及其运算考情考向分析本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要
2、条件是存在实数，使得ba.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxe1ye2ze3.3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，
3、记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b概念方法微思考1共线向量与共面向量相同吗？提示不相同平行于同一平面的向量就为共面向量2零向量能作为基向量吗？提示不能由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量3空
4、间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.()题组二教材改编2P83T3如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则向量可
5、用a，b，c表示为_.答案abc解析()c(ba)abc.3P105T1(4)已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)若点P(x,3,3)也在平面内，则x_.答案2解析由题意知，(x1,4,1)，n0，6(x1)1260，x2.题组三易错自纠4在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是_答案平行解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.5已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，则|b|_.答案2解析ab，ab2(4)321x0
6、，x2，|b|2.6O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.答案解析P，A，B，C四点共面，t1，t.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形
7、法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.答案解析()，().(2)如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则_.答案(abc)解析()()(abc)题型二共线定理、共面定理的应用例2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点
8、M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，MN平面ABB1A1.综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内；当00，若ab，则x_.答案2解析ab，(x,1,2)，联立得到x2(负值舍去)2已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x_.答案(0,6，20)解析由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)3已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m_.答案2解析当m0时，a(1,3，1)，b(2,0,0)，a与b不平行，m0，ab，解得m2.4已知向量a(1,1,
9、0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_答案解析由题意可得kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，kab与2ab互相垂直，(kab)(2ab)0，即3(k1)2k2(2)0，k.5已知平面的一个法向量为n(1,2，2)，平面的一个法向量为m(2，4，k)若，则实数k的值为_答案5解析由，得mn282k0，则k5.6在空间直角坐标系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足PAPB，则P点坐标为_答案(0,0,3)解析设P(0,0，z)，PAPB，则有，解得z3.7已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为_答案解析a
10、bx23，x1，b(1,1,2)，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.8在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是_答案0解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p
11、才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.9已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，.则VA与平面PMN的位置关系是_答案平行解析如图，设a，b，c，则acb，由题意知bc，abc.因此，共面又VA平面PMN，VA平面PMN.10已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确的序号是_答案解析中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中，|0，故不正确11已知A，B，C三点不
12、共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由题意知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且过同一点M，M，A，B，C四点共面点M在平面ABC内12已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E
13、，使得b，此时E点的坐标为.13.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz_.答案解析连结ON，设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.14A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD的形状是_三角形答案直角解析M为BC中点，()，()0.AMAD，AMD为直角三角形15已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_答案(1,1,2)解析由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，当1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)16.如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为棱AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值(1)证明设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba，c2b20，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.16
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