1、第2讲力的合成与分解1力的合成(1)合力与分力:如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同,那么这一个力就叫作几个力的合力,那几个力叫作这一个力的分力。合力与分力是等效替代关系。(2)力的合成:求几个力的合力的过程。运算法则:平行四边形定则,求两个互成角度的分力的合力,可以把表示这两个力的有向线段作为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。三角形定则,把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。(3)合力与分力的大小关系:当两分力F1、F2大小一定,夹角从0增大到180的过程中,合力大小随夹角的增大而减小。【温馨提示】在力的合
2、成中,两个分力实际存在,对应同一个受力物体,有不同的施力物体,但合力没有与之对应的施力物体。1.1(2018湖南长沙检测)两个共点力F1、F2大小不同,它们的合力大小为F,则()。A.F1、F2同时增大一倍,F也增大一倍B.F1、F2同时增加10N,F也增加10NC.F1增加10N,F2减少10N,F一定不变D.若F1、F2中的一个增大,则F一定增大【答案】A1.2(2019山东青岛月考)(多选)共点的两个力,大小均为10N,当它们的合力在010N范围时,它们夹角的可能值是()。A.33B.68C.128D.166【答案】CD2力的分解(1)定义:求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运
3、算。遵循的原则:平行四边形定则。(2)正交分解法:把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。坐标轴的选取是任意的,为使问题简化,坐标轴的选取一般有以下两个原则:使尽量多的力落在坐标轴上。尽量使某一轴上各分力的合力为零。【温馨提示】力分解时有解或无解,关键是看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成平行四边形(或三角形),说明合力可以分解成给定的分力,即有解。如果不能构成平行四边形(或三角形),说明该合力不能按给定的分力分解,即无解。2.1(2018广东茂名月考)将一个力F分解为两个力F1和F2,那么下列说法中错误的是()。A.F是物体实际受到的力
4、B.F1和F2不是物体实际受到的力C.物体同时受到F1、F2和F三个力的作用D.F1和F2共同作用的效果与F相同【答案】C2.2(2019河南信阳模拟)如图所示是一种常用的“千斤顶”示意图,摇动手柄能使螺旋杆转动并保持水平,而A、B间距离发生变化,重物就能被顶起或下降。若物重为G,杆AB与AC之间的夹角为,不计“千斤顶”本身的重量,则“千斤顶”螺旋杆AB中的拉力大小为()。A.GsinB.GcosC.GtanD.Gtan【答案】D3矢量和标量(1)矢量:既有大小又有方向的物理量。叠加时遵循平行四边形定则,如速度、力等。(2)标量:只有大小没有方向的物理量。求和时按代数法则相加,如路程、速率等。
5、(3)矢量相加法则:平行四边形定则是矢量运算的普适法则。三角形定则:把两个矢量首尾相接与它们的合矢量组成一个三角形,从而求出合矢量,这个方法叫作三角形定则。(4)矢量图解法在分析分力变化问题中的应用步骤:确定两分力的方向;作平行四边形或三角形,确定合力方向;根据题意判断某一分力的变化趋势,并作出动态图示;由动态图示判断某一分力或合力的变化情况。3.1(2018山西大同统考)如图所示,大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形(顶角为直角)。下列图中,这三个力的合力最大的是()。【答案】C3.2(2019海南检测)如图所示,物体A、B的质量分别为4 kg和10 kg,不计滑轮与绳
6、之间的摩擦及绳的重力,若整个系统静止,已知sin 53=0.8,cos 53=0.6,g取10 m/s2。求:(1)地面对B的摩擦力的大小。(2)B对地面压力的大小。【答案】(1)24N(2)68N题型一动杆和定杆问题1.动杆若轻杆用转轴或铰链连接,当杆处于平衡状态时杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则会引起杆的转动。如图甲所示,若C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向。2.定杆如图乙所示,一端固定的轻杆(如一端插入墙壁或固定于地面),其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向,力的方向只能根据具体情况进行分析。根据平衡条件或牛顿第二定律确定杆中的弹力的大小和方向(如图丙所示)。【例1】(多
7、选)如图甲所示,两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动,在O点悬挂一质量为M的重物,将两相同的质量为m的木块紧压在竖直挡板上,此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小,FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍增大,系统仍静止且O1、O2始终等高,则()。甲A.Ff变小B.Ff不变C.FN变小D.FN变大【解析】先对三个物体以及支架整体受力分析,受重力(2m+M)g,2个静摩擦力,两侧挡板对整体有一对支持力,根据平衡条件,有2Ff=(M+2m)g,解得Ff=12(M+2m)g,故静摩擦力不变,A项错误,B项正确;将细线对O的拉力按照效果进
8、行力的合成,如图乙所示,设两个杆与竖直方向的夹角为,则有F1=F2=Mg2cos,再将杆对木块的推力F1按照效果进行分解,如图丙所示,根据几何关系,有Fx=F1sin,F1=F1,故Fx=Mg2cossin=Mgtan2,若挡板间的距离稍增大,即夹角变大,则Fx变大,故木块对挡板的压力变大,C项错误,D项正确。乙丙【答案】BD本题考查力的分解和物体平衡及其相关知识,对一端有铰链的轻杆,杆产生或受到的弹力方向一定沿着杆的方向。【变式训练1】(2019河北承德检测)水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端装有一个轻质小滑轮B,一轻绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物,C
9、B与水平方向的夹角为30,如图甲所示,则滑轮受到杆的作用力大小为(g取10 m/s2)()。甲A.50NB.503NC.100ND.1003N【解析】以滑轮为研究对象,悬挂重物的绳的拉力FT=mg=100N,故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向,大小都是100N。以CB、BD为邻边作平行四边形如图乙所示,由CBD=120,CBE=DBE,得CBE=DBE=60,即CBE是等边三角形,故F合=100N。根据平衡条件得F=100N,C项正确。乙【答案】C题型二“活结”和“死结”问题1.活结:可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳
10、子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。2.死结:可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。【例2】如图所示,小方块代表一些相同质量的钩码,图甲中O为轻绳之间连接的结点,图乙中光滑的轻质小滑轮跨在轻绳上悬挂钩码,两装置处于静止状态。现将图甲中右边滑轮的端点B右移一点,图乙中的端点B向上移动一点(图乙中的绳长不变),则关于角和OB绳的张力F的变化,下列说法正确的是()。甲乙A.图甲、乙中的角均增大
11、,F均不变B.图甲、乙中的角均不变,F均不变C.图甲中角增大;图乙中角不变,张力F均不变D.图甲中角减小,F不变;图乙中角增大,F减小【解析】图甲中,根据钩码个数,O点所受的三个力正好构成直角三角形,若端点B沿虚线右移一点,三力大小不变,根据力的合成法则,可知三力方向不变,即夹角不变;图乙中,因滑轮光滑,且绳子中的张力相等,则A、B两端的力总是相等的,因此合力平分A、B绳的夹角,即使端点B稍上移,绳子张力大小F仍不变,则根据力的合成法则,可知A、B绳夹角不变,则角不变,B项正确,A、C、D三项错误。【答案】B本题解题的关键是抓住动滑轮两边绳子的张力大小相等的特点以及合力与分力的关系分力大小不变
12、,夹角增大时,合力减小。【变式训练2】(2019福建福州质检)(多选)如图所示,质量为M的斜劈放置在水平地面上,细线绕过滑轮O1、O3连接A、B物体,连接A的细线与斜劈平行,滑轮O3由细线固定在竖直墙O处,滑轮O1用轻质杆固定在天花板上,动滑轮O2跨在细线上,其下端悬挂质量为m的物体C,初始整个装置静止,不计细线与滑轮间摩擦,下列说法正确的是()。A.若增大m,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,细线张力大小不变B.若增大m,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,地面对斜劈的摩擦力变大C.若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,细线与竖直墙夹角变大D.若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,待系统稳定后,地面
13、对斜劈的摩擦力不变【解析】若增大m,A、斜劈仍静止,先对物体B分析,受重力和拉力而平衡,说明细线的拉力大小保持不变;再对A和斜劈整体分析,受重力、支持力、拉力和摩擦力,根据平衡条件可知,摩擦力等于拉力的水平分力,由于拉力不变,故地面对斜劈的摩擦力不变,A项正确,B项错误。若将悬点O上移,A、斜劈仍静止,细线的拉力依然等于物体B的重力,大小不变;先分析C,由于重力不变,两个拉力的大小也不变,故根据平衡条件可知,两个拉力的方向不变;再分析滑轮O3,受三个拉力,由于两个拉力的大小和方向不变,故根据平衡条件可知,第三个拉力的方向也不变,细线与竖直墙的夹角不变,故C项错误。最后分析A和斜劈整体,受重力、
14、支持力、拉力和摩擦力,根据平衡条件可知,摩擦力等于拉力的水平分力,由于拉力不变,故地面对斜劈的摩擦力不变,D项正确。【答案】AD题型三共点力的合成与分解问题1.力的合成(1)两个共点力的合成|F1-F2|F合F1+F2,即两个力大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两力反向时,合力最小;当两力同向时,合力最大。(2)三个共点力的合成最大值:三个力共线且同向时,其合力最大,为F1+F2+F3。最小值:任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围之内,则三个力的合力的最小值为零,如果第三个力不在这个范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。(3)运算法则对角线就
15、表示合力的大小和方向。如图甲所示。三角形定则:把两个矢量首尾相接,从而求出合矢量的方法。如图乙所示。甲乙2.力的分解一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按实际效果进行分解;当物体受到三个以上的力或物体所受的三个力中,有两个力互相垂直时,常用正交分解法。【温馨提示】(1)两个分力一定时,夹角越大,合力越小。(2)合力一定时,两等大分力的夹角越大,两分力越大。(3)合力可以大于分力,等于分力,也可以小于分力。【例3】(多选)如图所示,A、B都是重物,A被绕过小滑轮P的细线所悬挂,B放在粗糙的水平桌面上;小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点;O是三根细线的结点,bO水平拉着重物B,cO沿竖
16、直方向拉着弹簧;弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略,整个装置处于静止状态,g=10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是203 N,则下列说法中正确的是()。A.弹簧的弹力为10NB.重物A的质量为2kgC.桌面对重物B的摩擦力为103ND.OP与竖直方向的夹角为60【解析】Oa与aA两细线拉力的合力与斜线OP的张力大小相等。由几何知识可知FOa=FaA=20N,且OP与竖直方向的夹角为30,D项错误;重物A的重力GA=FaA,所以mA=2kg,B项正确;桌面对B的摩擦力Ff=FOb=FOacos30=103N,C项正确;弹簧的弹力F弹=FOasin30=10N,A项正
17、确。【答案】ABC共点力合成的方法(1)作图法:根据力的图示,利用平行四边形定则作图求解。(2)计算法:当两个力的夹角为特殊角时,利用平行四边形定则作出其合力,利用数学知识计算合力大小。【变式训练3】(2019贵州毕节检测)如图甲所示,质量为m的物体置于倾角为的固定斜面上,物体与斜面之间的动摩擦因数为,先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑,若改用水平推力F2作用于物体上,也能使物体沿斜面匀速上滑,则两次的推力之比F1F2为()。A.cos+sinB.cos-sinC.1+tanD.1-tan【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分别如图乙、丙所示。将重力mg、
18、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解,图乙中,由平衡条件可得F1=mgsin+f1,FN1=mgcos,其中f1=FN1,解得F1=mgsin+mgcos;图丙中,由平衡条件可得F2cos=mgsin+f2,FN2=mgcos+F2sin,其中f2=FN2,解得F2=mgsin+mgcoscos-sin,故F1F2=cos-sin,B项正确。【答案】B1.(2018江西南昌二模)假设某人恰好静止在倾角为的滑梯上端准备下滑,为了安全,若给他一个头盔,则()。A.人仍处于静止状态B.人沿斜面加速下滑C.人受到的摩擦力不变D.人受到的合力增大【解析】设人的质量为m,原来处于平衡状态,由平衡条件可
19、得mgsin=mgcos,当给他一个头盔时相当于m增大,但仍然平衡,即人仍处于静止状态,A项正确,B项错误;人受到的摩擦力将变大,C项错误;合力仍然为零,D项错误。【答案】A2.(2018四川绵阳诊测)如图所示,质量m1=10 kg和m2=30 kg的两物体叠放在动摩擦因数为0.25的粗糙水平地面上。劲度系数k=250 N/m的轻弹簧处于水平方向,其两端分别与墙壁和质量为m1的物体相连,弹簧处于自然状态。现用一水平拉力F作用于质量为m2的物体上,使它缓慢地向右移动,当移动x=0.20 m时,两物体开始相对滑动,g取10 m/s2,则此时水平拉力F的大小为()。A.50NB.100NC.150N
20、D.200N【解析】当质量为m2的物体向右移动0.20m时,弹簧伸长量x=0.20m,根据胡克定律,此时弹簧的弹力大小F弹=kx=50N;以整体为研究对象,根据平衡条件得F=F弹+Ff,又Ff=(m1+m2)g,得F=F弹+(m1+m2)g=150N,故C项正确。【答案】C3.(2018广东湛江一模)(多选)如图所示,有一刚性长方体容器被水平力F压在竖直的墙面上处于静止状态。现缓慢地向容器内注水,直到注满为止,在此过程中容器始终保持静止,下列说法中正确的是()。A.容器受到的摩擦力逐渐增大B.容器受到的摩擦力不变C.水平力F可能不变D.水平力F必须逐渐增大【解析】由题知,容器始终处于静止状态,
21、则其受力平衡,即其所受的摩擦力大小等于容器和水的总重力,所以容器受到的摩擦力逐渐增大,A项正确,B项错误;水平方向上容器受力平衡,若该过程最大静摩擦力始终大于重力,则力F可能不变,若最大静摩擦力小于或等于重力,则力F要增大,故C项正确,D项错误。【答案】AC4.(2019广东韶关联考)(多选)如图所示,质量为m的物体通过定滑轮牵引另一水平面上的物体沿斜面匀速下滑,此过程中斜面体保持静止,斜面体的质量为M,则水平地面对斜面体()。A.无摩擦力B.有水平向右的摩擦力C.支持力为(M+m)gD.支持力小于(M+m)g【解析】设斜面的倾角为,细绳的拉力为FT,斜面体与其上面的物体整体处于平衡状态,对斜
22、面体及其上面的物体整体受力分析可得FTcos=F静,FTsin+FN=(M+m)g,故F静方向水平向右,FN小于(M+m)g,B、D两项正确。【答案】BD5.(2019湖北黄石检测)(多选)如图甲所示,横截面为直角三角形的物块ABC的AB边靠在竖直墙面上,F是垂直于斜面BC的推力,这时物块静止不动。假设物块受到的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,现将力F增大,下列说法正确的是()。甲A.物块所受合力增大B.物块所受摩擦力增大C.物块仍将静止不动D.物块将向下滑动【解析】如图乙所示,由平衡条件得f=G+Fsin,力F增大,f增大,故B项正确。物块静止不动,则有G+FsinFN,又FN=Fcos,得G
23、+FsinFcos,根据数学知识可知FsinFcos,得到G+(F+F)sin(F+F)cos,物块仍将静止不动,故C项正确,D项错误。物块静止不动,所受合力为零,保持不变,故A项错误。乙【答案】BC6.(2019湖北黄冈检测)哥伦比亚大学的工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌肉,可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作。如图甲所示,连接质量为m的物体的足够长细绳ab,一端固定于墙壁,在合成肌肉做成的“手臂”ced的d端固定一滑轮,c端固定于墙壁,细绳绕过滑轮,c和e类似于人手臂的关节,由“手臂”合成肌肉控制。设cd与竖直墙壁ac的夹角为,不计滑轮与细绳的摩擦,下列说法正确的是()。甲
24、A.若保持不变,增大cd长度,则细绳ad部分拉力变大B.若保持=90,增大cd长度,则细绳对滑轮的力始终沿dc方向C.若保持ac等于ad,增大cd长度,则细绳对滑轮的力始终沿dc方向D.若从90逐渐变为零,cd长度不变,且保持accd,则细绳对滑轮的力先减小后增大【解析】细绳ad的拉力大小等于物体的重力,则若保持不变,增大cd长度,细绳ad的拉力不变,A项错误;若保持=90,细绳对滑轮的力等于ad绳和bd绳拉力的合力,因Tad=Tdb=mg,则ad绳和bd绳拉力的合力方向指向左下方,不沿dc方向,B项错误;若保持ac=ad,则acd=adc=cdb,则此时ad绳和bd绳拉力的合力方向沿dc方向
25、,即使增大cd长度,上述关系仍然不变,即细绳对滑轮的力始终沿dc方向,C项正确;乙若从90逐渐变为零,cd长度不变,且保持accd,如图乙所示,则ad与ac的夹角先增加后减小,ad与db的夹角先减小后增加,则ad绳和bd绳拉力的合力先增大后减小,即细绳对滑轮的力先增大后减小,D项错误。【答案】C7.(2018湖南岳阳检测)如图甲所示,一粗糙斜面的倾角=37,一质量m=5 kg的物块在一水平力F的作用下静止在斜面上,物块与斜面间的动摩擦因数=0.5,g取10 m/s2,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力,sin 37=0.6,cos 37=0.8,问:甲(1)要使物块恰能静止在斜面上且与斜面没有相
26、对滑动的趋势,F应为多大?(2)要使物块静止在斜面上,F应在什么范围内?【解析】(1)要使物块能静止在斜面上,且摩擦力为零,对物块受力分析,如图乙所示,根据平衡条件,有F=mgtan=37.5N。(2)当F较大时,摩擦力沿斜面向下,根据平衡条件,有Fmaxsin37+mgcos37=FNFmaxcos37=mgsin37+fm其中fm=FN联立解得Fmax=100N。当F较小时,摩擦力沿斜面向上,根据平衡条件,有Fmincos37+(Fminsin37+mgcos37)=mgsin37解得Fmin=10011N所以F的范围为10011NF100N。乙【答案】(1)37.5N(2)10011NF
27、100N1.(2018天津卷,7)(多选)明朝谢肇淛的五杂组中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为,现在木楔背上加一力F,方向如图甲所示,木楔两侧产生推力FN,则()。甲A.若F一定,大时FN大B.若F一定,小时FN大C.若一定,F大时FN大D.若一定,F小时FN大【解析】以木楔为研究对象,木楔受到的力有:力F、两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力。由于木楔处于平衡状态,所以两侧给木楔的弹力的大小与F沿两侧分解的分力大小是相等的,FN=FN1=FN2
28、,力F的分解如图乙所示,则F=FN1cos90-2+FN2cos90-2=2FNcos90-2=2FNsin2,解得FN=F2sin2,所以当F一定时,越小,FN越大;当一定时,F越大,FN越大,B、C两项正确。乙【答案】BC2.(2017全国卷,16)如图,一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变,而方向与水平面成60角,物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为()。A.2-3B.36C.33D.32【解析】因为物块均做匀速直线运动,所以拉力水平时,F=mg,拉力倾斜时,将F沿水平方向和竖直方向分解,根据平衡条件有Fcos60=(mg-Fsin60)
29、,联立解得=33。【答案】C3.(2016全国卷,19)(多选)如图甲所示,一光滑的轻滑轮用细绳OO悬挂于O点;另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态。若F方向不变,大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则()。甲A.绳OO的张力也在一定范围内变化B.物块b所受的支持力也在一定范围内变化C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【解析】由于物块a、b均保持静止,各绳角度保持不变,对a受力分析得,绳的拉力T=mag,所以物块a受到绳的拉力保持不变;由滑轮性质知,滑轮两侧绳
30、的拉力相等,所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变,C项错误。a、b受到绳的拉力大小、方向均不变,所以OO的张力不变,A项错误。对b进行受力分析,如图乙所示,由平衡条件得Tcos+f=Fcos,Fsin+FN+Tsin=mbg,其中T和mbg始终不变,当F大小在一定范围内变化时,支持力在一定范围内变化,B项正确。由上述分析知,摩擦力也在一定范围内发生变化,D项正确。乙【答案】BD4.(2016全国卷,17)如图甲所示,两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上;一细线穿过两轻环,其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时,a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有
31、摩擦。小物块的质量为()。甲A.m2B.32mC.mD.2m【解析】如图乙所示,圆弧的圆心为O,悬挂小物块的点为c,由于ab=R,则aOb为等边三角形,同一条细线上的拉力相等,T=mg,由几何关系知,acb=120,故绳的拉力的合力与物块的重力大小相等,即每条线上的拉力T=G=mg,所以小物块的质量为m,C项正确。乙【答案】C5.(2017天津卷,8)(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是()。A.绳的右端上移到b,绳子拉力不变B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移【解析】绳的右端上下移动及改变绳子两端高度差都不会改变两部分绳间的夹角,A项正确,C项错误;两绳间的夹角与衣服的质量大小无关,D项错误;将杆N向右移一些,两部分绳间的夹角变大,绳子拉力变大,B项正确。【答案】AB17
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