1、5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向
2、量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a同方向；当|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的
3、中点，BE与AC的交点为F，设a，b，则向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab，故选C.(2)(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角ABC中，3，xy，则_.答案3解析由题意得3()，即43，亦即，则x，y.故3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题
4、可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练1(1)在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且2，3，若a，b，则等于()A.abB.abCabDab答案C解析()ab，故选C.(2)(2018威海模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若xy(x，yR)，则xy_.答案2解析由题意得，因为xy，所以，所以解得所以xy2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a
5、8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.引申探究1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使.即4a(m3)b(ab)所以解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)所以所
6、以k1.又1，因为，所以m，即，又知A，B，D三点共线，所以1，即m，所以1，故选B.15已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为ABC的()ABC边中线的中点BBC边中线的三等分点(非重心)C重心DBC边的中点答案B解析设BC的中点为M，则，(2)，即32，也就是2，P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点16设W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合若aW，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模则称a是W的极大向量有下列命题：若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量cab，使得Wa，b，c中的每个元素都是极大向量；若W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1W2中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是_答案解析若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量时，W1W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确16
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