1、4.6正弦定理和余弦定理最新考纲通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2在ABC中，已知a
2、，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如图，在ABC中，有如下结论：bcosCccosBa.试类比写出另外两个式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(
3、2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中，acosAbcosB，则这个三角形的形状为答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为答案2解析，sinB1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为()A钝角三角形B直
4、角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinB0，cosB1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则C.答案解析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cosC.因为C(0，)，所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2
5、，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元
6、素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)(2018天津河西区模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，则B的大小为()A30B60C120D150答案D解析因为sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，所以b2c2a2ac，即a2c2b2ac，则cosB，又0B180，则B150.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sinC
7、的值为答案解析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sinC.题型二和三角形面积有关的问题例2(2018济南模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosAacosB2c.(1)证明：tanB3tanA；(2)若b2c2a2bc，且ABC的面积为，求a.(1)证明根据正弦定理，由已知得sinBcosAcosBsinA2sinC2sin(AB)，展开得sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA)，整理得sinBcosA3cosBsinA，所以tanB3tan
8、A.(2)解由已知得b2c2a2bc，所以cosA，由0A，得A，tanA，tanB，由0B，得B，所以C，ac，由Sacsina2，得a2.思维升华 (1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2(1)(2018承德质检)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2B.C.D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBCsinBx.根据余弦定理，得cosB.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，sinA1，即A，ABC为
9、直角三角形引申探究1本例(2)中，若将条件变为2sinAcosBsinC，判断ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cosC，又0Cc，可得30B180，B60或B120.3(2018南昌模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2AsinA，bc2，则ABC的面积为()A.B.C1D2答案A解析由cos2AsinA，得12sin2
10、AsinA，解得sinA(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积SbcsinA2.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.则sinsin.0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.5(2018合肥质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcosAacosB2，则ABC的外接圆面积为()A4B8C9D36答案C解
11、析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c2a，则cosB的值为()A.B.C.D.答案B解析因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2BsinAsinC，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cosB.7(2018成都模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为答案或解析由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.8
12、设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b.答案1解析因为sinB且B(0，)，所以B或B.又C，BC0，1，即sinBcosA.(2)解由sinCsinAcosB知，sin(AB)sinAcosB，cosAsinB.由(1)知，sinBcosA，cos2A，由于B是钝角，故A，cosA，A.sinB，B，C(AB).12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A0，sinAcosA，即tanA.0A，A.由余弦定理得a216b2c22
13、bccosA(bc)23bc(bc)232，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC的周长labc4bc12，即最大值为12.15在ABC中，C60，且2，则ABC面积S的最大值为答案解析由C60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，SabsinC3，ABC的面积S的最大值为.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sinB1cosC，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cosA，又0A，A.又sinB1cosC,0sinB1，cosC0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cosC，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sinC，cosC，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcosCb2()2，解得b2，故SABCabsinC22.16
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