1、4.4函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲1.结合具体实例，了解函数yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出yAsin(x)的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径概念方法微思考1怎样从ysinx的图象变
2、换得到ysin(x)(0，0)的图象？提示向左平移个单位长度2函数ysin(x)图象的对称轴是什么？提示x(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位长度得到的()(2)将函数ysinx的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)函数ysinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()题组二教材改编2为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin2x的图
3、象向平移个单位长度答案右3P56T3y2sin的振幅、频率和初相分别为答案2，4如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为答案y10sin20，x6,14解析从题图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,14题组三易错自纠5要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin4x的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度答案A解析ysinsin，要得到ysin的图象，只需将
4、函数ysin4x的图象向左平移个单位长度6将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为答案y2sin解析函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，所得函数为y2sin2sin.7(2018长沙模拟)ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是答案解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期，故它们之间的距离为.8(2018沈阳质检)若函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则f的值为答案解析由题干图象可知A2，T，T，2，当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，又0，f(x
5、)2sin，则f2sin2cos.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2018济南模拟)已知函数f(x)Asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的图象(要列表)解(1)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为当x时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时22k，kZ，2k，kZ，因为0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，且yg(x)是偶函数，求m的最小值解由已知得yg(x)f(xm)2sin2sin是偶函数，所以2m(2k1)，kZ，m，kZ，又因为m0，所以m的最小值为.思维升华 (1)yAsin(x)
6、的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”跟踪训练1(1)(2018海南联考)将曲线ysin(2x)向右平移个单位长度后得到曲线yf(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则等于()A.B.CD答案D解析曲线ysin(2x)向右平移个单位长度后得到曲线yf(x)sinsin，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则k(kZ)，则k(kZ)，又|，所以.故选D.(2)把函数ysinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得
7、图象的函数解析式为_答案ysin解析把函数ysinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数ysin2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数ysin2sin的图象题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2(1)若函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则y.答案2sin解析由题图可知，A2，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.(2)已知函数f(x)sin(x) 的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的集合为答案解析根据题干所给图象，周期T4，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点，代入有22k(kZ)，再
8、由|0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为()A.B.C.D.答案D解析依题意得解得，故2，则f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)因为|0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求a和的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间解(1)当sin1时，f(x)取得最大值21a3a.又f(x)最高点的纵坐标为2，3a2，即a1.又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期T，2.(2)由(1)得f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.令k0，得x.函数f(x)在0，上的单调递减
9、区间为.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是答案(2，1)解析方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sint，t有两个不同的实数根y和ysint，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是答案2,1)解析由上例题知，的取值范围是，2m0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为答
10、案解析f(0)f，x是f(x)图象的一条对称轴，f1，k，kZ，6k2，kZ，T(kZ)又f(x)在上有且只有一个零点，T，(kZ)，k0)的最小正周期是，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由题意知2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)coscossin2x的图象，由2k2x2k(kZ)，解得所求函数的单调递减区间为(kZ)4函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为()A14k，14k(kZ)B38k，18k(kZ)C14k,14k(kZ)D38k,18k(kZ)
11、答案D解析由题图知，T4(31)8，所以，所以f(x)sin.把(1,1)代入，得sin1，即2k(kZ)，又|0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是()A.B.C.D.答案B解析依题意得f(x)2sin，因为函数f(xa)2sin的图象关于y轴对称，所以sin1，ak，kZ，即ak，kZ，又a0，所以ak，kN.因此正数a的最小值是，故选B.6(2018云南11校跨区调研)函数f(x)sinx(0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A.B2C1D.答案C解析依题意得，函数fsin(0)的图象过点，于是有fsinsin0(0)，所以k，kN*，即k，k
12、N*，因此正数的最小值是1，故选C.7已知函数f(x)Atan(x)的部分图象如图所示，则f.答案解析由题干图象知2，所以2.因为2k(kZ)，所以k(kZ)，又|，所以，这时f(x)Atan.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A1，所以f(x)tan.所以ftan.8.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2).答案解析由题图可知，则T，2，又，所以f(x)的图象过点，即sin1，所以22k，kZ，又|0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为答案解析f(x)sinxcosxs
13、in，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，即2，所以.11已知函数f(x)2sin(其中01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象解(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以k(kZ)，3k(kZ)，因为01，所以当k0时，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函数的单调递增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0
14、xf(x)120201作出函数部分图象如图所示：12(2017山东)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由题设知f0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又00)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，若为g(x)的一个极值点，则实数的最小值为()A.B.C2D.答案C解析将函数f(x)sinx(0)的图象向右平移个单位长
15、度，得到函数g(x)sin，又由x是函数g(x)sin的一个极值点，则gsinsin1，所以k，kZ，解得24k，kZ，当k0时，2，故选C.14.设偶函数f(x)Asin(x)(A0，0,00，0,0)的图象关于直线x对称该函数的部分图象如图所示，ACBC，C90，则f的值为答案解析依题意知，ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M，2，f(x)sin(x)又f(x)的图象关于直线x对称，fsin.k，kZ，又0，f(x)sin，fsin.16已知函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x对称，若存在x，使m23mf(x)成立，则实数m的取值范围为_答案(，12，)解析函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin1，即Asin.函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.21
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