1、5.4平面向量的综合应用最新考纲经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，
2、y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos(为F与s的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向
3、量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题概念方法微思考1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题(2)直线或线段平行问题(3)直线或线段垂直问题(4)角的问题等2如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若0，n0，则由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2
4、)2nm，化简得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.(2)(2018广元统考)在ABC中，AB2AC6，2，点P是ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时，_.答案9解析2，2()0，即BAAC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，222x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210当x2，y1时，222有最小值，此时(2,1)(6,3)9.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量
5、之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练1(1)(2018松原三校联考)已知ABC外接圆的圆心为O，AB2，AC2，A为钝角，M是BC边的中点，则等于()A3B4C5D6答案C解析M是BC边的中点，()，O是ABC的外接圆的圆心，|cosBAO|2(2)26.同理可得|2(2)24.()(64)5.(2)(2018聊城模拟)在ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是ABC所在平面上的任意一点，则的最小值为()A1B2C2D1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)设点P的坐标为(x，y)，则，(x，y)，故22222，当
6、且仅当x0，y1时等号成立所以的最小值为2.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A.B.C.D.答案B解析如图，由|1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆由知，点M为PC的中点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|AP|，所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆因为|3，所以|的最大值为3，|2的最大值为.故选B.(2)(2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上，若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析方法一因为点P在圆O：x2y250上，
7、所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因为20，先取P(x，)进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.当2x50，即x0)，A，B两点关于x轴对称若圆C上存在点M，使得0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A.B.C.D.答案C解析由题意得圆的方程为(x1)2(y)21，B(0，m)，设M(x，y)，由于0，所以(x，ym)(x，ym)0，所以x2y2m20，所以m2x2y2，由于x2y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时m2最大，m也最大|OM|
8、123，MOx60，所以xM3sin30，yM3sin60.故选C.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知在RtABC中，C90，9，SABC6，P为线段AB上的点，且xy，则xy的最大值为_答案3解析在RtABC中，由9，得ABACcosA9，由面积为6，得ABACsinA12，由以上两式解得tanA，所以sinA，cosA，所以ABAC15，所以AB5，AC3，BC4.又P为线段AB上的点，且，故12，即xy3，当且仅当，即x，y2时取等号命题点2向量在解三角形中的应用例4(2018衡阳模拟)在ABC中，若|2，且cosCcosAsinB.(1)求角B的大小；(2)求AB
9、C的面积解(1)因为，所以cosCcosAsinB()sinB，即(cosCsinB)(cosAsinB)0.而向量，是两个不共线的向量，所以所以cosCcosA，因为A，C(0，)，所以AC.在等腰ABC中，ABC，所以2AB，A.所以cosAcossinsinB，所以sin2sincos，因为sin0，所以cos.综合00，即|a|24|a|b|cos0，即cos0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24x答案B解析如图所示，由，得F为线段AB的中点，|A
10、F|AC|，ABC30，由48，得|BC|4.则|AC|4，由中位线的性质，有p|AC|2，故抛物线的方程为y24x.故选B.6(2018南昌测试)在梯形ABCD中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且，则的最大值为()A2BC.D.答案D解析因为ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以ABCD是直角梯形，且CM，BCM30，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则，B(2,0)，P(2，)，Q，所以(2，)54.令f()54且，由对勾函数性质可知，当1时可取得最大值
11、，则f()maxf(1)54.7在菱形ABCD中，若AC4，则_.答案8解析设CAB，ABBCa，由余弦定理得a216a28acos，acos2，4acos()4acos8.8已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_答案解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos0，cos.又0，.9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是_答案5,5解析如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设点P(x，y)，B(1,
12、0)，A(0,0)，则(1,0)，(x，y)，所以(x，y)(1,0)x.因为点P在圆x2(y5)225上，所以5x5，即55.10已知抛物线C：x24y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则|NT|_.答案3解析画出图形如图所示由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y1.设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.由题意得NPMNOF，又，即M为FN的中点，|OF|，|OP|，|1，|ON|2|OP|2，|.又，即，解得|3.11已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(1,2)，点C在第二象限
13、，(2,2)，且与的夹角为，2.(1)求点D的坐标；(2)当m为何值时，m与垂直解(1)设C(x，y)，D(a，b)，则(x1，y2)与的夹角为，2，化为(x1)2(y2)21.又2(x1)2(y2)2，化为xy2.联立解得或又点C在第二象限，C(1,3)又，(a1，b3)(2，2)，解得a3，b1.D(3,1)(2)由(1)可知(0,1)，m(2m,2m1)，(2，1)m与垂直，(m)4m(2m1)0，解得m.12已知A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m(，cosA1)，n(sinA，1)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cosB，求b的值解(1)mn，mnsi
14、nA(cosA1)(1)0，sinAcosA1，sin.0A，A，A，A.(2)在ABC中，A，a2，cosB，sinB.由正弦定理知，b，b.13如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案解析圆心O是直径AB的中点，2，()2，|32，|，即()22|，当且仅当|时，等号成立，故最小值为.14(2018包头模拟)已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC10，AB8，则的最小值为()A4B25C9D16答案D解析以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点H(x，y)，则B(
15、5,0)，C(5,0)，所以(5x，y)，(5x，y)，则(5x，y)(5x，y)x2y225，又因为AB8，且H为弦AB上一动点，所以9x2y225，其中当取AB的中点时取得最小值，所以92516，故选D.15如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若xy，则xy的取值范围是()A4,4B，C5,5D6,6答案C解析如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则i，ij，可得i，j，由图知当点P在点C时，有j23，此时xy有最大值5，同理当点P在与C相对的下顶点时有j23，此时xy有最小值5.故选C.16记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2，则()A|ac|maxB|ac|maxC|ac|minD|ac|min答案A解析由已知可得ab|a|b|cos2，cos，建立平面直角坐标系，a(2,0)，b(1，)，c(x，y)，由c(a2b2c)2，可得(x，y)(42x,22y)2，即4x2x22y2y22，化简得C点轨迹为(x1)22，则|ac|，转化为圆上点与(2,0)的距离|ac|max.21
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