1、第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1设函数f(x)x2mlnx，g(x)x2(m1)x，当m1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数解令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx，x0，问题等价于求函数F(x)的零点个数F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)0，F(4)ln41时，若0xm，则F(x)0；若1x0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)m0，F(2m2)mln(2m2)0)，则h(x).易知h(1)0，当0x0，当x1时，h(x)0，函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递
2、减，h(x)maxh(1)1m.当1m0，即m1时，函数h(x)只有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上只有1个交点；当1m1时，函数h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上没有交点；当1m0，即m1时，当x0时，h(x)，当x时，h(x)m，若m0，即m，函数h(x)有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，)上有一个交点，当m0，即m1时，f(x)与g(x)在(0，)上没有交点；当m1或m时，f(x)与g(x)在(0，)上有1个交点；当m1时，f(x)与g(x)在(0，)上有2个交点题型二根据函数零点情况求参数范围例2(2018九江模拟)已知函数
3、f(x)2lnxx2ax(aR)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解g(x)2lnxx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得10)，所以h(x)1.所以x在上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.所以h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2
4、，所以实数a的取值范围为40，解得xe2，令f(x)0，解得0x时，f(x)min0，f(x)无零点，当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点，当a时，f(x)min0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x110可得x2或x1，由f(x)0可得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1,2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c0，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调
5、递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)5已知函数f(x)(3a)x2lnxa3在上无零点，求实数a的取值范围解当x从0的右侧趋近于0时，f(x)，所以f(x)0恒成立，即只需当x时，a3恒成立令h(x)3，x，则h(x)，再令m(x
6、)2lnx2，x，则m(x)m64ln20，所以h(x)0在上恒成立，所以h(x)在上为增函数，所以h(x)h在上恒成立又h3ln2，所以a3ln2，故实数a的取值范围是.6已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.8
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