1、第1课时等差、等比数列与数列求和题型一等差数列、等比数列的交汇例1记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列思维升华等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程跟踪训练1(2019桂林模拟)已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S1
2、1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比解(1)设数列an的公差为d.由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，又S4SnS，n281，n9，公比q.题型二数列的求和命题点1分组求和与并项求和例2(2018吉大附中模拟)已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ana1qn1，且an0，由已知得化简得即
3、又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnalog2an4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1).命题点2错位相减法求和例3(2018大连模拟)已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN*.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn
4、622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1.命题点3裂项相消法求和例4在数列an中，a14，nan1(n1)an2n22n.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明nan1(n1)an2n22n的两边同时除以n(n1)，得2(nN*)，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列(2)解由(1)，得2n2，所以an2n22n，故，所以Sn.思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法
5、等跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an(nN*)证明：数列是等比数列；求数列an的通项公式与前n项和Sn.证明a1，an1an，当nN*时，0，又，(nN*)为常数，是以为首项，为公比的等比数列解由是以为首项，为公比的等比数列，得n1，annn.Sn12233nn，Sn1223(n1)nnn1，两式相减得Sn23nnn1nn1，Sn2n1nn2(n2)n.综上，annn，Sn2(n2)n.(2)(2018三明质检)已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR)求数列an的通项公式；若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和T
6、n.解因为a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.()当n2时，有6Sn1a3an12，()()()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN*)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN*)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN*)所以，所以Tn，.1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a37，a5a726.(1
7、)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求证：数列bn为等差数列(1)解设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得a13，d2，则ana1(n1)d32(n1)2n1，Snn(n2)(2)证明因为bnn2，又bn1bnn3(n2)1，所以数列bn是首项为3，公差为1的等差数列2(2018丰台模拟)在数列an和bn中，a11，an1an2，b13，b27，等比数列cn满足cnbnan.(1)求数列an和cn的通项公式；(2)若b6am，求m的值解(1)因为an1an2，且a11，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列所以an1(n1)22n1，即an2n1.因为b13，b27，且a1
8、1，a23，所以c1b1a12，c2b2a24.因为数列cn是等比数列，且数列cn的公比q2，所以cnc1qn122n12n，即cn2n.(2)因为bnan2n，an2n1，所以bn2n2n1.所以b62626175.令2m175，得m38.3已知递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanan，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整数n的最小值解(1)由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bnanan2n2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，则2S
9、n(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值为6.4(2018河北省唐山市迁安三中月考)正项等差数列an满足a14，且a2，a42，2a78成等比数列，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化简得，d24d120，解得d2或d6(舍)，所以ana1(n1)d2n2.(2)因为Snn23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn.5(2018济南模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11
10、，an0，SaSn1，其中为常数(1)证明：Sn12Sn；(2)是否存在实数，使得数列an为等比数列，若存在，求出；若不存在，说明理由(1)证明an1Sn1Sn，SaSn1，S(Sn1Sn)2Sn1，Sn1(Sn12Sn)0，an0，Sn10，Sn12Sn0；Sn12Sn.(2)解存在1，使得数列an为等比数列，理由如下：Sn12Sn，Sn2Sn1(n2)，相减得an12an(n2)，an从第二项起成等比数列，S22S1，即a2a12a1，a210，得1，an若使an是等比数列，则a1a3a，2(1)(1)2，1(舍)或1，经检验符合题意6设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b
11、1，b2，b3，b4的公差为d，且q1，d0.记ciaibi (i1，2，3，4)(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a11，q2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由(1)证明假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2c1c3，即2.因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2b1b3.从而2a2a1a3.又因为a1，a2，a3是等比数列，所以aa1a3.所以a1a2a3，这与q1矛盾，从而假设不成立所以数列c1，c2，c3不是等差数列(2)解因为a11，q2，所以an2n1.因为cc1c3，所以2，即b2d23d，由c22b20，得d23d20，所以d1且d2.又d0，所以b2d23d，定义域为.(3)解设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则将2得，a1(q1)2c1(q11)2，将2得，a1q2c1q12，因为a10，q1，由得c10，q11.由得qq1，从而a1c1.代入得b10.再代入，得d0，与d0矛盾所以c1，c2，c3，c4不成等比数列9
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