1、9.1直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan.(2)P1(x1，y1)，P2(
2、x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1和直线yy1截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角0，)，当时，斜率k不存在；因为ktan.当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时就不是了2“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值，
3、它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数应注意过原点的特殊情况是否满足题意题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)若直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二教材改编2若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4答案A解析由题意得1，解得m1.3过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直
4、线方程为答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4(2018石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.5如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限6过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形
5、的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcosy30的倾斜角的取值范围是 ()A.B.C.D.答案B解析直线2xcosy30的斜率k2cos，因为，所以cos，因此k2cos1， 设直线的倾斜角为，则有tan1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l
6、斜率的取值范围为答案(，1，)解析如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180)思维升华(1)倾斜角与斜率k的关系当时，k0，)当时，斜率k不存在当时，k(，0)(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根
7、据ktan求斜率公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan的单调性跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A1或0B.或0C.D.或0答案A解析平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A.(2)直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是答案解析直线l的斜率k1m21，所以ktan1.又ytan在上是增函数，因此0，b0，
8、直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.1直线xya0(a为常
9、数)的倾斜角为()A30B60C150D120答案B解析设直线的倾斜角为，斜率为k，化直线方程为yxa，ktan.0180，60.2(2018海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()Ax2By1Cx1Dy2答案A解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.3已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150B135C120D不存在答案A解析由y，得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示
10、显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|22，所以SAOB21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k，故直线l的倾斜角为150.4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，所以A，B(0,12k)，故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.13(2018焦作期中)过点A(3，1)且在两
11、坐标轴上截距相等的直线有()A1条B2条C3条D4条答案B解析当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为xya，把(3，1)代入所设的方程得a2，则所求直线的方程为xy2，即xy20；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为ykx，把(3，1)代入所设的方程得k，则所求直线的方程为yx，即x3y0.综上，所求直线的方程为xy20或x3y0，故选B.14设点A(2,3)，B(3,2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，结合题意可知a，且a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，求的最小值解动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0.ac3.则(ac)，当且仅当c2a2时取等号15
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