1、第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1(2017全国)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故3
2、3mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法跟踪训练1 已知椭圆T：1(ab0)的一个顶点A(0,1)，离心率e，圆C：x2y24，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PMPN.(1)解由题意可知b1，即2a23c2，又a2b2c2，联立解得a23，b21.椭圆方程为y21.(2)证明方法一当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.当P点横坐标不为
3、时，设P(x0，y0)，则xy4，设kPMk，PM的方程为yy0k(xx0)，联立方程组消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30，依题意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0，化简得(3x)k22x0y0k1y0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPMkPN1.所以PMPN.综上知PMPN.方法二当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.当P点横坐标不为时，设P(2cos，2sin)，切线方程为y2sink(x2cos)，联立得(13k2)x212k(sinkcos)x12(sinkcos)230，令
4、0，即144k2(sinkcos)24(13k2)12(sin kcos )230，化简得(34cos2)k24sin2k14sin20，kPMkPN1.所以PMPN.综上知PMPN.题型二探索性问题例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的
5、切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假
6、设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法跟踪训练2(2018广州模拟)已知椭圆E：1(ab0)过点Q，且离心率e，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)判断是否存在直线l，满足2，2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题意得解得所以椭圆E的方程为y21.(2)存在直线l，满足2，2.理由如下：方法一由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则C，D(0，m)由方程组得(12k2)x24kmx2m
7、220，所以16k28m280.(*)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.因为2，2，所以，所以C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合所以x1x20，解得k.由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|3|CD|.所以|x1x2|3，即|x1x2|3，解得m.验证知(*)成立所以存在直线l，满足2，2，此时直线l的方程为yx或yx.方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，由2，2，得解得M(2m，n)，N(m,2n)又M，N两点在椭圆上，所以即解得故所求直线l的方程为5x10y20或5x10y20或5x10y20或5x10y20
8、.1(2018聊城模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M(x1，y1)与N(x2，y2)，且x1x2，证明直线MN过定点，并求AMN的面积S的取值范围解(1)设a2b2c2，则，设P(x，y)，则c|y|，|y|b，bc.解得椭圆C的方程为y21.(2)设MN方程为xnym(n0)，联立得(n24)y22nmym240，由题意知，16(n2m24)0，y1y2，y1y2，关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为
9、0，即0，即0，得2ny1y2m(y1y2)4(y1y2)0，即0.解得m1.直线MN方程为xny1，直线MN过定点B(1,0)又|y1y2|44，令t，t，|y1y2|4(0，)，又S|AB|y1y2|y1y2|.2(2018菏泽模拟)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O，焦点为圆F：x2y24x30的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)圆F的方程为(x2)2y21，圆心F
10、的坐标为(2,0)，半径r1.根据题意设抛物线E的方程为y22px(p0)，2，解得p4.抛物线E的方程为y28x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|BC|2r，|AB|CD|4|BC|42r8.|AD|AB|BC|CD|10.讨论：若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x，解得y4.此时|AD|8，不满足题意；若l不垂直于x轴，则设l的斜率为k(k0)，此时l的方程为yk(x2)，由得k2x2(4k28)x4k20.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2.抛物线E的准线方程为x2，|AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24，410，解得k2.易知k2符
11、合题设存在满足要求的直线l：2xy40或直线l：2xy40.3(2018三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线yx上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1,0)对称(1)求E和的标准方程；(2)过点M的直线l与E交于A，B，与交于C，D，求证：|CD|AB|.(1)解设的标准方程为x22py(p0)，则F.已知E在直线yx上，故可设E(2a，a)因为E，F关于M(1,0)对称，所以解得所以的标准方程为x24y.因为E与x轴相切，故半径r|a|1，所以E的标准方程为(x2)2(y1)21.(2)证明由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1
12、)(k0)，则E(2，1)到l的距离d，因为l与E交于A，B两点，所以d2r2，即0，所以|AB|22.由消去y并整理得x24kx4k0.16k216k0恒成立，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k，那么|CD|x1x2|4.所以2.所以|CD|22|AB|2，即|CD|AB|.4(2018兰州诊断)椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线与椭圆E在第一象限交于点P，若|PF1|，且ab2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知点P关于y轴的对称点Q在抛物线C：y2mx上，是否存在直线l与椭圆交于A，B，使得A，B的中点M落在直线y2x
13、上，并且与抛物线C相切，若直线l存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由解(1)由题意可得P，则解得a22，b21，所以椭圆方程为y21.(2)由(1)可知P，则有Q，代入y2mx可得抛物线方程是y2x.若直线l斜率存在，设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差可得(y1y2)(y1y2)0，A，B的中点M落在直线y2x上，则有y1y22(x1x2)，代入可得，直线l方程可以设为yxb，与抛物线方程联立消元可得方程y22y2b0，直线与抛物线相切则有48b0，即b，则直线l的方程为x4y20，与椭圆方程联立得消元可得方程9y28y10，6449280，所以直线x4y
14、20满足题意当直线l斜率不存在时，直线x0满足题意综上所述，直线l的方程为x0或x4y20.5(2018甘肃西北师范大学附属中学诊断)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点(1)求直线ON的斜率kON；(2)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在0,2)，使得cossin成立(1)解设椭圆的焦距为2c，因为，所以，故有a23b2.从而椭圆C的方程可化为x23y23b2.知右焦点F的坐标为(b,0)，据题意有AB所在的直线方程为yxb.由得4x26bx3b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，
15、y0)，由及根与系数的关系得：x0，y0x0bb.所以kON，即为所求(2)证明显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.由有x1x2，x1x2.所以x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.又点A，B在椭圆C上，故有x3y3b2，x3y3b2
16、.将，代入可得，221.所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，且221.所以存在0,2)，使得cos，sin.也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，使得等式cossin成立6.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(4k21)x28kx40，其判别式(8k)216(4k21)0，所以x1x2，x1x2，从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当时，2，此时为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，2.故存在常数，使得为定值.12
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