1、2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为
2、周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)；(2)f(xa)(a0)；(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”
3、)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()题组二教材改编2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.答案1解析ff4221.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析由图象可知，当0x0；当2x5时，
4、f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题组三易错自纠5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.D答案B解析f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.6偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.答案3解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x236
5、，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条
6、件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()Af(x)xsin2xBf(x)x2cosxCf(x)3xDf(x)x2tanx答案D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，所以f(x)xsin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)，所以f(x)x2cosx为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(
7、x)3xf(x)，所以f(x)3x为奇函数；只有f(x)x2tanx既不是奇函数也不是偶函数故选D.(2)(2018石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，)上单调递减的函数为()AyByx3CyxDyx答案B解析由题意得，对于函数y和函数yx都是非奇非偶函数，排除A，C.又函数yx在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，排除D，故选B.题型二函数的周期性及其应用1(2018抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)_.答案2解析f(7)f(1)f(1)2.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对
8、任意的x都有f(x2)，则f(2020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2020)2.3(2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.4设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)
9、0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.答案1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)12011.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2021)_.答案解析设0x2，则2x0时，x0时，f(x)x2ax1a，若函数f(x)为
10、R上的减函数，则a的取值范围是_答案1,0解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且1a0，此时即即1a0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018聊城模拟)已知函数f(x)|x|(10x10x)，则不等式f(12x)f(3)0的解集为()A(，2) B(2，)C(，1) D(1，)答案A解析由于f(x)f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f(12x)f(3)0等价于f(12x)f(3)f(3)，所以12x3，xf(2x1)解由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1
11、)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x0B减函数且f(x)0D增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0.故选D.(2)(2018烟台模拟)已知偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)1，f(3)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A3,5B1,1C1,
12、3D1,13,5答案D解析由偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则在区间(，0)上单调递减，又f(1)1，f(3)1，则f(1)1，f(3)1，要使得1f(x2)1，即1|x2|3，即1x23或3x21，解得1x1或3x5，即不等式的解集为1,13,5，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)解g(x)是奇函数，当x0时，g(x)g(x)ln(1x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6x2)f(x)，可得6x2x，即x2x60，3x2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定
13、另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一、函数性质的判断例1(1)(2017全国)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)f(x)lnxln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减又ylnu在其定义域上单调递增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减选项A，B错误；f(x)lnxln
14、(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确；f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒为0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且f(x)f(x6)，当x0,3时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A3,7B4,5C5,8D6,10答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数因为当x0,3时，f(x)单调递增，所以f(x)在3,0上单调递减根据函数周期性知，函数f(x)在3,6上单调递减又因为4,53,6，所以函数f(x
15、)在4,5上单调递减(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_答案解析由f(x)f(x2)0可得f(x4)f(x2)f(x)，函数f(x)的最小正周期是4，对；由f(4x)f(x)，可得f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称，对；f(4x)f(x)且f(4x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对二、函数性质的综合应用例2(1)(2018全国)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2
16、，则f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50B0C2D50答案C解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202
17、.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1
18、)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0的实数a的取值范围为_答案a|a4或a0等价于f(|a2|)f(2)，即|a2|2，即a22或a24或a0.1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx答案B解析函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于()A3BC.D3答案A解析由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的
19、是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.ABCD答案D解析由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知正确，故选D.4已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x2的解集为()A(2，) B.(2，)C.(，) D(，)答案B解析f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x0时，f(
20、x)lnx，则f的值为_答案ln2解析由已知可得fln2，所以ff(2)又因为f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln2.9奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_答案9解析由于f(x)在3,6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1，因为f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1，所以f(6)f(3)819.10若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增的如果实数t满足f(lnt)f2f(1)，那么t的取值范围是_答案解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln
21、t)f，由f(lnt)f2f(1)，得f(lnt)f(1)又函数f(x)在区间0，)上是单调递增的，所以|lnt|1，即1lnt1，故te.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2023)_.答案1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，
22、即函数f(x)的周期是4，所以f(2023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2023)f(1)1.14(2018天津河西区模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)若对任意的xm，m1，不等式f(1x)f(xm)恒成立，则实数m的最大值是()A1BCD.答案B解析易知函数f(x)在0，)上单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)在(，0)上单调递增，则由f(1x)f(xm)，得|1x|xm|，即(1x)2(xm)2，即g(x)(2m2)
23、xm210在xm，m1上恒成立，当m1时，g(x)0，符合要求，当m1时，则解得1m，所以1m，即m的最大值为.15已知函数f(x)sinxx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_答案解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，m2,2，此时，只需即可，解得2x.16已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，求f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)的值解因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)在f(x1)f(x1)中，令x1，可得f(2)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0.所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2020)0.15
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