1、4.4函数yAsin(x)的图象及应用考情考向分析以考查函数yAsin(x)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识题型为填空题，中档难度1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径概念方法微思考1怎样从ysi
2、nx的图象变换得到ysin(x)(0，0)的图象？提示向左平移个单位长度2函数ysin(x)图象的对称轴是什么？提示x(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位长度得到的()(2)将函数ysinx的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)函数ysinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()题组二教材改编2P39T2为了得到函数y2sin的图象，可以将
3、函数y2sin2x的图象向_平移_个单位长度答案右3P40T5y2sin的振幅、频率和初相分别为_答案2，4P41T1如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_答案y10sin20，x6,14解析从题图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,14题组三易错自纠5将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为_答案y2sin解析函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期，即个单位长
4、度，所得函数为y2sin2sin.6ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_答案解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期，故它们之间的距离为.7.若函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则f的值为_答案解析由题干图象可知A2，T，T，2，当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，又0，f(x)2sin，则f2sin2cos .题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1已知函数f(x)Asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的图象(要列表)解
5、(1)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为当x时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时22k，kZ，2k，kZ，因为0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，且yg(x)是偶函数，求m的最小值解由已知得yg(x)f(xm)2sin2sin是偶函数，所以2m(2k1)，kZ，m，kZ，又因为m0，所以m的最小值为.思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”跟踪训练1(1)(2018南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，将函数
6、ysin的图象向右平移个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为_答案解析ysin的图象向右平移个单位长度后得到ysin，又sin0，2k(kZ)，又0，.(2)已知函数f(x)sin(00)个单位长度，则m的最小值为_答案1解析由题意得sin0，即k(kZ)，则2k(kZ)，结合02，得，所以f(x)sincoscos，所以只需将函数g(x)cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数yf(x)的图象题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2(1)已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的集合为_答案解析根据题干所给图象，周期T4，故，2，因
7、此f(x)sin(2x)，另外图象经过点，代入有22k(kZ)，再由|0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形求的值及函数f(x)的值域；若f(x0)，且x0，求f(x01)的值解由已知可得，f(x)3cosxsinx2sin，函数f(x)的值域为2，2，正三角形ABC的高为2，从而BC4，函数f(x)的周期T428，即8，.f(x0)，由有f(x0)2sin，即sin，由x0，知x0，cos.f(x01)2sin2sin22.思维升华yAsin(x)中的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区
8、间上)或把图象的最高点或最低点代入(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口跟踪训练2已知函数f(x)Asin(x)B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的最小值为_答案解析依题意得解得，故2，则f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)因为|0，所以m的最小值为.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合问题例3已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，若f(0)，且8，B，C分别为最高点与最低点(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)
9、的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由f(0)，可得2sin ，即sin .又|，.由题意可知，则88，T.故2，f(x)2sin.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由题意将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x，2x，sin.当2x，即x0时，sin，g(x)取得最大值，当2x，即x时，sin1，g(x)取得最小值2.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_
10、答案(2，1)解析方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sint，t有两个不同的实数根y和ysint，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_答案2,1)解析由上例题知，的取值范围是，2m0)的最小正周期是，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是_答案(kZ)解析由题意知2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)coscossin2x的图象，由2k2x
11、2k(kZ)，解得所求函数的单调递减区间为(kZ)4函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为_答案38k,18k(kZ)解析由题图知，T4(31)8，所以，所以f(x)sin.把(1,1)代入，得sin1，即2k(kZ)，又|0)，使得平移后的图象仍过点，则的最小值为_答案解析将ysin2x的图象向右平移个单位长度(0)得到ysin2(x)，代入点得sin，因为0，所以当2时，第一个正弦值为的角，此时最小，为.6将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为_答案解析将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位
12、长度得到ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则k(kZ)，又|，所以，即f(x)sin.当x时，2x，所以当2x，即x0时，f(x)取得最小值，最小值为.7.已知函数f(x)Atan(x)的部分图象如图所示，则f_.答案解析由题干图象知2，所以2.因为2k(kZ)，所以k(kZ)，又|，所以，这时f(x)Atan.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A1，所以f(x)tan.所以ftan.8.已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.答案解析由题图可知，则T，2，又，所以f(x)的图象过点，即sin1，所以22k
13、，kZ，又|，可得，所以f(x)sin.由f(x1)f(x2)，x1，x2，可得x1x2，所以f(x1x2)fsinsin.9(2018南京模拟)在同一直角坐标系中，函数ysin(x0,2)的图象和直线y的交点的个数是_答案2解析方法一令sin，可得x2k或x2k，kZ，即x2k或x2k，kZ，又x0,2，所以x或x，故原函数图象与y的交点的个数是2.方法二在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10已知函数f(x)cos，其中x，若f(x)的值域是，则m的取值范围是_答案解析画出函数的图象如图所示由x，可知3x3m，因为fcos且fcos1，要使f(x)的值域是，只要m，即m.
14、11已知函数f(x)2sin(其中01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象解(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以k(kZ)，3k(kZ)，因为01，所以当k0时，可得.所以f(x)2sin.令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以函数的单调递增区间为(kZ)(2)由(1)知，f(x)2sin，x，列表如下：x0xf(x)120201作出函数部分图象如图所示：12设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的
15、2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由题设知f0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.13将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值为_答案解析g(x)sin2(x)sin(2x2)，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin，
16、sin(2)，又，所以，sin.又0，所以20)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)sinxcosx2sin(0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.15已知函数yMsin(x)(M0，0,0)的图象关于直线x对称该函数的部分图象如图所示，ACBC，C90，则f的值为_答案解析依题意知，ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M，2，f(x)sin(x)又f(x)的图象关于直线x对称，fsin.k，kZ，又0，fsin.16已知函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x对称，若存在x，使m23mf(x)成立，则实数m的取值范围为_答案(，12，)解析函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin 1，即Asin .函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.22
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