1、第四章 三角函数、解三角形考试内容等级要求三角函数的概念B同角三角函数的基本关系式B三角函数的诱导公式B正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质B函数yAsin(x)的图象与性质A两角和(差)的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及其应用B4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数考情考向分析以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以填空题为主，低档难度1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按
2、终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径弧度与角度的换算：3602rad；180rad；1rad；1rad度弧长公式：l|r.2任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)则sin，cos，tan(x0)三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinRcosRtan|k
3、，kZ3.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线概念方法微思考1总结一下三角函数值在各象限的符号规律提示一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，怎样定义角的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其
4、终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sincos1.()题组二教材改编2P10T6角225_弧度，这个角在第_象限答案二3P14例1若角的终边经过点Q，则sin_，cos_.答案4P10T8一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为_弧度答案题组三易错自纠5在0到2范围内，与角终边相同的角是_答案解析与角终边相同的角是2k(kZ)，令k1，可得与角终边相同的角是.6已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为_答案解析因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan ，又，所以.7函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cosx10，cosx.由三角函
5、数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)题型一角及其表示1.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_答案(kZ)解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为(kZ)2设集合M，N，那么集合M，N的关系是_答案MN解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.3终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_答案解析如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角
6、有两个：，故满足条件的角构成的集合为.4若角是第二象限角，则是第_象限角答案一或三解析是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10cm，求扇形的面积解由已知得，R10 cm，S扇形R2102
7、(cm2)引申探究1若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2)2若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2R20，则l202R(0R10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，
8、要合理地利用圆心角所在的三角形跟踪训练1(1)(2018连云港市灌南华侨高级中学月考)已知扇形的半径为10，面积为，则扇形的圆心角为_答案解析设扇形的圆心角为(rad)，半径为r，则扇形的面积为Sr2.102，解得.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_答案解析设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为，由扇形面积等于圆面积的，可得，解得.所以扇形的弧长与圆周长之比为.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)已知角的终边与单位圆的交点为P，则sintan_.答案解析由OP2y21，得y2，y.当y时，sin
9、，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .所以sin tan .(2)(2018江苏省常熟中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且OP2，则点P的坐标为_答案(1，)解析由题意可知，点P在角的终边上，所以xP2cos1，yP2sin，则点P的坐标为(1，)(3)设是第三象限角，且cos，则是第_象限角答案二解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos，cos0，综上可知，为第二象限角命题点2三角函数线例3(1)满足cos的角的集合是_答案解析作直线x交单位圆于C，D两点，连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为
10、角终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin，cos，tan的大小关系是_答案sincostan解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0.则实数a的取值范围是_答案(2,3解析cos0，sin0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2cosx成立的x的取值范围是_答案解析当x时，sin x0，cos x0，显然sin xcos x成立；当x时，如图，OA为x的终边，此时sin xMA，cos xOM，sin xcos x；当x时，如图，OB为x的终边，此时sin xNB，cos xON，sin xcos x同理当x时，
11、sin xcos x；当x时，sin xcos x.1角870的终边所在的象限是第_象限答案三解析由8701080210，知870角和210角的终边相同，在第三象限2若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.3已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_答案1或4解析设扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.4(2018无锡期末)已知角的终边经过点P(x，6)，且tan，则x的值为_答案10解析根据三角函数的定义，得tan，所以x10.5已知角的终边过点P(8m，6sin3
12、0)，且cos，则m的值为_答案解析由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m.6若角的终边与直线y3x重合，且sin0，又P(m，n)是角终边上一点，且OP，则mn_.答案2解析由已知tan3，n3m，又m2n210，m21.又sin0，sincos0，sin 0，cos 0或sin 0，cos 0，cos 0时，为第一象限角，当sin 0，cos 0时，为第三象限角sin cos 0，为第三象限角9若是第三象限角，则y_.答案0解析由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角当是第二象限角时，y110；当是第四象限角时，y110.综上可知，y0.10已
13、知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为_答案解析由题意知，点P，r1，所以点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.11给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则与的终边相同；若cos0，则是第二或第三象限的角其中正确的命题是_(填序号)答案解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos1，
14、时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知，只有正确12函数y的定义域为_答案，kZ解析利用三角函数线(如图)，由sinx，可知2kx2k，kZ.13.如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角的终边OB交于点B(xB，yB)，设BAO，若sin，则点B的坐标为_答案解析由sin，r1，得yBsinsincos22sin21221.由为钝角，知xBcos.所以B.14若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sincos0，则cossin_.答案解析由角的终边与单位圆交于点，得cos ，又由sin cos 0，知sin 0，因为角
15、的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角记P为角的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x0，y0)，则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cos x，因为点在单位圆上，所以2m21，解得m，所以sin ，所以cos sin .15九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是_平方米(结果保留整数，1.73)答案5解析
16、如题图2，由题意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin 3，可得AB2AD3.所以弧田面积S(弦矢矢2)5(平方米)16.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，BOA60.质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动(1)求经过1s后，BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间解(1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时BOA的弧度为3.(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(12)2，解得t，即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇14
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