1、 第十二章 系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念A二阶矩阵与平面向量B常见的平面变换A变换的复合与矩阵的乘法B二阶逆矩阵B二阶矩阵的特征值与特征向量B二阶矩阵的简单应用B坐标系的有关概念A简单图形的极坐标方程B极坐标方程与直角坐标方程的互化B参数方程B直线、圆及椭圆的参数方程B参数方程与普通方程的互化B参数方程的简单应用B不等式的基本性质B含有绝对值的不等式的求解B不等式的证明(比较法、综合法、分析法)B算术几何平均不等式与柯西不等式A利用不等式求最大(小)值B运用数学归纳法证明不等式B12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换
2、可以得出曲线的变换二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵三是特征值与特征向量属于低档题1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中
3、为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(kR，且k0)3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量5特征多项式设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc，称为A的特征多项式题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.(
4、)(2).()(3)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则(AB)1B1A1.()(4)矩阵A的特征值为8和3.()题组二教材改编2P52例3已知矩阵A，则A的逆矩阵A1_.答案解析因为det(A)25342，所以A1.3P11习题T7已知矩阵M，其中aR.若点P(1，2)在矩阵M的变换下得到点P(4,0)，实数a的值为_答案3解析由，得22a4，解得a3.4P39例1(1)已知A，B，求AB.解AB.题组三易错自纠5A，B，则AB的逆矩阵为_答案解析A1，B1，(AB)1B1A1.6设椭圆的方程为x21，若它在矩阵M对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a_.答案4解析设P(x，y)为椭圆上任意一点，
5、变换后为P(x，y)，则，所以xx，y2y，代入椭圆的方程，得x21.因为它表示圆，所以a4.7已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵A1，所以A1B.题型一矩阵与变换1已知a，b是实数，如果矩阵M所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值解设点(x，y)是直线xy1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x，y)，则，所以因为点(x，y)在直线x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，即所以2二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在矩阵M变换作用下得到了直
6、线m：xy4，求直线l的方程解(1)设M，则有，所以且解得所以M.(2)设直线l上任意一点P(x，y)，在矩阵M的变换作用下得到点P(x，y)因为，且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解题型二求逆矩阵例1已知矩阵det(A)，B.(1)求A的逆矩阵A1；(2)求矩阵C，使得ACB.解(1)因为|A|23142，所以A1.(2)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B.思维升华求逆矩阵的方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE；(2)公式法|A|adbc0，有A1.
7、跟踪训练1已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.解B(B1)1.AB.题型三特征值与特征向量例2已知矩阵A的逆矩阵A1.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A.(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量思维升华已知A，求特征值和特征向量的步骤(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，
8、写出相应特征的向量跟踪训练2(2018无锡期末)已知变换T将平面内的点，(0,1)分别变换成点，.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值解(1)设M，则，得a3，b，c4，d4，M.(2)设矩阵M的特征多项式为f()，f()(3)(4)6276.令f()0，则11，26.1已知A，求A的特征值解A的特征多项式f()(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值为17，24.故A的特征值为7和4.2(2018南通、泰州模拟)设矩阵A满足：A，求矩阵A的逆矩阵A1.解方法一设矩阵A，则，所以a1,2a6b2，c0,2c6d3.解得b0，d，所以A.根据逆矩阵公式得A1.方
9、法二在A两边同时左乘逆矩阵A1，得A1.设A1，则，所以a1，2a3b2，c0，2c3d6.解得a1，b0，c0，d2，从而A1.3(2019徐州模拟)已知矩阵A，向量b.求向量a，使得A2ab.解A2，设a，由A2ab，得，即解得所以a.4(2018宿迁期中)已知变换T把直角坐标平面上的点A(3，4)，B(0,5)分别变换成点A(2，1)，B(1,2)，求变换T对应的二阶矩阵M.解设矩阵M，则，且.所以且解得所以矩阵M.5曲线C1：x22y21在矩阵M的作用下变换为曲线C2，求C2的方程解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，则，即即因为P是曲线C
10、1上的点，所以C2的方程为(x2y)22y21.6(2015江苏)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.7求曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积解设点(x0，y0)为曲线|x|y|1上的任一点，在矩阵M对应的变换作用下得到的点为(x，y)，则由，得即所以曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线为|x|3|y|1，所以围成的图形为菱形，其面积为2.8(2018江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy中
11、，A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，设k0，kR，M，N，点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求实数k的值解由题设得MN，由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|212，即k2.9(2018高邮考试)已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量解(1)，a4.(2)A，f()223.令f()0，得11，23，对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解因此1
12、是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量对于特征值23，解相应的线性方程组得一个非零解因此2是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量矩阵A的特征值为11，23，属于特征值11，23的特征向量分别为，.10设a0，b0，若矩阵A把圆C：x2y21变换为椭圆E：1.(1)求a，b的值；(2)求矩阵A的逆矩阵A1.解(1)设点P(x，y)为圆C：x2y21上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P(x，y)，则，所以因为点P(x，y)在椭圆E：1上，所以1，这个方程即为圆C方程，所以又因为a0，b0，所以a2，b.(2)由(1)得A，所以A1.11(2017江苏)已知矩阵A，B.(1)求AB；(2)若曲线C
13、1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程解(1)因为A，B，所以AB.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，则，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，所以1，从而1，即x2y28.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28.12(2018江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程解(1)设M，则8，故，故联立以上两个方程组，解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的特征值2对应的一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换作用下对应的点的坐标为(x，y)，则，所以即xxy，yxy，代入直线l的方程化简，得xy20，即xy20.13
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