1、第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1已知函数f(x)2a2lnxx2(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)解(1)f(x)2a2ln xx2，f(x)2x，x0，a0，当0x0，当xa时，f(x)0.f(x)的单调增区间是(0，a)，单调减区间是(a，)(2)由(1)得f(x)maxf(a)a2(2ln a1)讨论函数f(x)的零点情况如下：当a2(2ln a1)0，即0a时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；当a2(2ln a1)0，即a时，函数f(x)在(0，)内有唯一零点a，而1a0，即a时，由于
2、f(1)10，f(e2)2a2ln(e2)e44a2e4(2ae2)(2ae2)，当2ae20，即a时，1ae2，f(e2)时，f(e2)0，而且f()2a2ea2e0，f(1)10，由函数的单调性可知，无论ae2，还是ae2，f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点综上所述，当0a时，函数f(x)在区间(1，e2)上无零点；当a或a时，函数f(x)在区间(1，e2)上有一个零点；当a0)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)lne2，f(x)的极小值为2
3、.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0，当a0时，f(x)0，函数f(x)的增区间为(0，)；当a0时，f(x)，令f(x)0，因为x0，所以x0，所以x，所以函数f(x)的单调增区间为(，)综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(，)(2)由
4、(1)知，若a0，f(x)在(0，)上为增函数，函数f(x)至多有一个零点，不合题意若a0，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(，)上为增函数，所以f(x)minf()aalnaa(1lna)要使f(x)有两个零点，则f(x)mina(1lna)e.下面证明：当ae时，函数f(x)有两个零点因为ae，所以1(0，)，而f(1)0，所以f(x)在(0，)上存在唯一零点方法一又f(a)ea2aa(ea12lna)，令h(a)ea12lna，ae，h(a)e0，所以h(a)在(e，)上单调递增，所以h(a)h(e)e230，所以f(x)在(，)上也存在唯一零点综上，当ae时，函数f(x)有两个零
5、点所以当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)方法二先证x(1，)有lnxx2axa.因为ae，所以aa.因为(a)2a(a)a0.所以f(a)0，所以f(x)在(，)上也存在唯一零点；综上，当ae时，函数f(x)有两个零点所以当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)思维升华函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想跟踪训练2已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax3(a为实数)，若方程g(x)2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围解由g(x)2f(x)，可得2xln xx2ax3，a
6、x2ln x，设h(x)x2ln x(x0)，所以h(x)1.所以x在上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.所以h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2，所以实数a的取值范围为40，解得xe2，令f(x)0，解得0x时，f(x)min0，f(x)无零点，当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点，当a时，f(x)min0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x11x2，使
7、得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，x0时，F(x)，x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个3已知函数f(x)ax2(aR)，g(x)2lnx，且方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相等的解，求a的取值范围解由已知可得方程a在区间，e上有两个不等解，令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，由于(e)，()，(e)()0，所以(e)()所以(x)min
8、(e)，如图可知(x)a有两个不相等的解时，需a.即f(x)g(x)在，e上有两个不相等的解时，a的取值范围为.4已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，
9、在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.5(2018南通模拟)已知函数f(x)ex|xa|，其中aR.(1)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若函数有极大值点x2和极小值点x1，且f(x2)f(x1)k(x2x1)恒成立，求实数k的取值范围解(1)因为f(x)ex|xa|则f(x)因为
10、f(x)在R上单调递增，所以f(x)0恒成立，当x10恒成立；当xa时，要使f(x)ex10恒成立，所以f(a)0，即a0.所以实数a的取值范围为0，)(2)由(1)知，当a0时，f(x)在R上单调递增，不符合题意，所以有a0.此时，当x10，f(x)单调递增；当xa时，f(x)ex1，令f(x)0，得x0，所以f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)极大值f(a)ea，f(x)极小值f(0)1a，即a0符合题意由f(x2)f(x1)k(x2x1)恒成立，可得eaa1ka对任意a0恒成立，g(a)在(，0)上单调递增，又因为g(1)k0，与g(a)0矛盾当k0时，g(a)0恒成立，符合题意当1k0在(，0)上的解集为(ln(k1)，0)，即g(a)在(ln(k1)，0)上单调递增，又因为当a0时，g(a)0，所以g(ln(k1)0，不合题意综上，实数k的取值范围为0，)9
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