1、2018-2019学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的金华十校1（4分）设全集U1，2，3，4，5，集合A1，2，B2，3，则A（UB）（）A4，5B2，3C4D12（4分）过点（1，0）且与直线x2y20垂直的直线方程是（）Ax2y+10Bx2y10C2x+y10D2x+y203（4分）函数f（x），则f（f（2）（）A2B1C2D04（4分）已知0，则（）AsinsinBcoscosClog2log2D225（4分）将函数ysin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象
2、的一个对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，3）6（4分）实数满足，则3x+y的取值范围为（）A1，9B3，9C1，D，97（4分）已知数列an满足a12，an+2a1an（nN*），则（）Aa3a5Ba3a5Ca2a4Da2a48（4分）在ABC中，sinAsinBsinC，且ABC面积为1，则下列结论不正确的是（）Aab|ab|8Bab（a+b ）8Ca（b2+c2）16Da+b+c69（4分）若存在正实数b，使得ab（a+b）ba，则（）A实数a的最大值为+1B实数a的最小值为+1C实数a的最大值为1D实数a的最小值为110（4分）如图，直角ABC的斜边BC长为2，C30，且
3、点B，C分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方，设x+y，（x，yR），记M，Nx+y，分别考察M，N的所有运算结果，则（）AM有最小值，N有最大值BM有最大值，N有最小值CM有最大值，N有最大值DM有最小值，N有最小值二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在答题卷的相应位置11（6分）若直线l的方程为：xy+30，则其倾斜角为 ，直线l在y轴上的截距为 12（6分）已知角终边上一点P的坐标为（sin2，cos2），则a是第 象限角，sin 13（6分）已知函数f（x）lg（2+x）+alg（2x）为偶函数，则a ，函数f（x）的单调递增区间
4、是 14（6分）已知数列an满足：an2n17，其前n项的和为Sn，则S13 ，当Sn取得最小值时n的值为 15（4分）已知（0，），且sin（+），则cossin 16（4分）已知|+|2，向量，的夹角为，则|+|的最大值为 17（4分）若存在实数b使得关于x的不等式|asin2x+（4a+b）sinx+13a+2b|2sinx4恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（15分）已知函数f（x）2sin2（x+）cos2x，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在0，上的最大值与最小值19（14分）在平面直角坐标系
5、xOy中，圆O：x2+y24与圆C：（x3）2+（y1）28相交与P，Q两点（）求线段PQ的长；（）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求MNC面积最大时的直线NM的方程20（15分）在ABC中，角A的平分线交BC于点D，ADC是ABD面积的倍（）求的值；（）若A30，AB1，求AD的值21（15分）已知f（x）（|x1|3）2（）若函数g（x）f（x）ax2有三个零点，求实数a的值；（）若对任意x|1，1，均有f（2x）2k2x0恒成立，求实数k的取值范围22（15分）已知数列an满足a1an+1an2+3an+，其中实数1（）求证：数列an是递增数列；（）当1时，（i）求证：an
6、（）n11；（ii）若bn，设数列bn的前n项和为Sn，求整数m的值，使得|S2019m|最小2018-2019学年浙江省金华市十校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的金华十校1（4分）设全集U1，2，3，4，5，集合A1，2，B2，3，则A（UB）（）A4，5B2，3C4D1【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出AUB【解答】解：全集U1，2，3，4，5，集合A1，2，B2，3，UB1，4，5AUB1，21，4，51故选：D【点评】本题考查集合的交集、并
7、集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算2（4分）过点（1，0）且与直线x2y20垂直的直线方程是（）Ax2y+10Bx2y10C2x+y10D2x+y20【分析】设与直线x2y20垂直的直线方程为2x+y+m0，把（1，0）代入2x+y+m0，解得m即可【解答】解：设与直线x2y20垂直的直线方程为2x+y+m0，把（1，0）代入2x+y+m0，可得2+m0，解得m2所求直线方程为：2x+y20故选：D【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题3（4分）函数f（x），则f（f（2）（）A2B1C2D0【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）的值，则有f（f（2）f（0），
8、计算即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x），则f（2）210，则f（f（2）f（0）2021；故选：B【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题4（4分）已知0，则（）AsinsinBcoscosClog2log2D22【分析】比较大小的题目，大都利用函数的单调性【解答】解：由正弦函数的图象可知，在x轴的正半轴，函数既有增，又有减，所以当0时，我们不能确定sin与sin的大小，故A错误；由余弦函数的图象可知，在x轴的正半轴，函数既有增，又有减，所以当0时，我们不能确定cos与cos的大小，故B错误；由对数函数的图象可知，以2为底的对数函数为增函数，所以当0时，我们有l
9、og2log2，故C正确；由指数函数的图象可知，以2为底的指数函数为增函数，所以当0时，我们有22，故D错误故选：C【点评】此题主要考查函数单调性，利用函数单调性进行大小的比较5（4分）将函数ysin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，3）【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数ysin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数ysin（2x）图象，令2xk，可得x+，kZ，故所得函数图象的对称中心为（+，0）令k1，可得所得图象的一个对称中心
10、为（，0），故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6（4分）实数满足，则3x+y的取值范围为（）A1，9B3，9C1，D，9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（2，3），联立，解得B（0，1）化目标函数z3x+y为y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1，当直线y3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为9目标函数z3x+y的取值范
11、围为1，9故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（4分）已知数列an满足a12，an+2a1an（nN*），则（）Aa3a5Ba3a5Ca2a4Da2a4【分析】由已知可得a30，a52a3是解答本题的关键【解答】解：an+2a1an，a5a1a32a3a3，故选：B【点评】本题考查数列递推公式的应用，难度较易8（4分）在ABC中，sinAsinBsinC，且ABC面积为1，则下列结论不正确的是（）Aab|ab|8Bab（a+b ）8Ca（b2+c2）16Da+b+c6【分析】由三角形的面积公式可得abc8，由三角形的边角关系和基本不等式可判断A，B，
12、D正确；C错误【解答】解：SabsinC，SbcsinA，ScasinB，sinAsinBsinC，且ABC面积为S1，1（abc）2sinAsinBsinC，可得abc8，由|ab|ca+b，可得ab|ab|abc8，ab（a+b）8，故A，B正确；a+b+c3326，当且仅当abc取得等号，由于sinAsinBsinC，故等号不成立，可得a+b+c6，故D正确；由a（b2+c2）2abc16，故C错误故选：C【点评】本题考查三角形的面积公式，以及三角形的边角关系、基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题9（4分）若存在正实数b，使得ab（a+b）ba，则（）A实数a的最大值为+1B实数a
13、的最小值为+1C实数a的最大值为1D实数a的最小值为1【分析】由题意可得b2a+（a21）b+a0，由于存在b0，可得上式有两个正根，可得b1b21，b1+b20，（a21）24a20，解不等式可得所求最值【解答】解：ab（a+b）ba，可得b2a+（a21）b+a0，由于存在b0，可得上式有两个正根，可得b1b21，b1+b20，（a21）24a20，即有2，且（a21+2a）（a212a）0，解得a1或0a1，则a的最大值为1，故选：C【点评】转化为二次方程实根的分布，结合基本不等式和不等式的解法，是解题的关键10（4分）如图，直角ABC的斜边BC长为2，C30，且点B，C分别在x轴，y轴
14、正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方，设x+y，（x，yR），记M，Nx+y，分别考察M，N的所有运算结果，则（）AM有最小值，N有最大值BM有最大值，N有最小值CM有最大值，N有最大值DM有最小值，N有最小值【分析】设OCB，用表示出M，N，根据的范围和三角函数化简公式得出M、N的最值情况【解答】解：C30，BC2，A90，AC，AB1设OCB，则ABx+30，且090，A（sin（+30），sin（+30），B（2sin，0），C（0，2cos），M2cossin（+30）cos2+sincos+sin（2+30）+，当2+3090，即30时，M取到最大值x+y，x，y，Nx+y1+，当2
15、90，即45时，N取得最小值故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的化简求值，属于中档题二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在答题卷的相应位置11（6分）若直线l的方程为：xy+30，则其倾斜角为，直线l在y轴上的截距为【分析】设直线l的倾斜角为，求出tan，再由0，可得倾斜角；由直线方程，令x0，解得y值即可【解答】解：设直线l的倾斜角为，则，又0，其倾斜角为；由直线l的方程为：xy+30，令x0，解得y直线l在y轴上的截距为故答案为：；【点评】本题考查了直线的斜率及其倾斜角的求法，是基础题12（6分）已知角终边上一点P的坐标为（si
16、n2，cos2），则a是第四象限角，sincos2【分析】由题意根据任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的符号，得出结论【解答】解：角终边上一点P的坐标为（sin2，cos2），则|OP|1，cossin20，sincos20，故为第四象限角，故答案为：四；cos2【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题13（6分）已知函数f（x）lg（2+x）+alg（2x）为偶函数，则a1，函数f（x）的单调递增区间是（2，0【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式分析其定义域，由函数奇偶性的定义可得lg（2x）+alg（2+x）lg（2+x）+alg（2
17、x），变形可得：（a1）lg（2+x）（a1）lg（2x），进而分析可得答案；设t2x2，则ylgt，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）lg（2+x）+alg（2x）必有，解可得2x2，即函数f（x）的定义域为（2，2）；函数f（x）lg（2+x）+alg（2x）为偶函数，则f（x）f（x），即lg（2x）+alg（2+x）lg（2+x）+alg（2x），变形可得：（a1）lg（2+x）（a1）lg（2x），分析可得：a1，则f（x）lg（2+x）+lg（2x）lg（4x2），（2x2）设t2x2，则ylgt，则有0t2，t2x2，为二次函数，在（2，0上
18、为增函数，在0，2）上为减函数，ylgt，为对数函数，在（0，2上为增函数，则函数f（x）的单调递增区间是（2，0；故答案为：1，（2，0【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a的值14（6分）已知数列an满足：an2n17，其前n项的和为Sn，则S1339，当Sn取得最小值时n的值为8【分析】由an2n17，可知数列an为等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式求解即可得S13的值，再根据an2n170，即可求Sn取得最小值时n的值【解答】解：由an2n17，可知数列an为等差数列，公差为20，a1150，则数列为递增的等差数列，S13由an2n170，解
19、得n8，Sn取最小值时n8故答案为：39，8【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，要求熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和之间的关系，是基础题15（4分）已知（0，），且sin（+），则cossin【分析】由题意利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：（0，），且sin（+）sin+cos，即 sin+cos，平方可得1+2sincos，可得sincos，为钝角，则cossin，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题16（4分）已知|+|2，向量，的夹角为，则|+|的最大值为【分析】根据题意，由数量积的计算公
20、式可得（|+|）2|2+|2+2|2+|2+|（|+|）2|4，又由基本不等式可得|（|+|）2，进而可得（|+|）2，变形可得答案【解答】解：根据题意，|+|2，且向量，的夹角为，则有（|+|）2|2+|2+2|2+|2+|（|+|）2|4，又由|（|+|）2，则有（|+|）24，变形可得（|+|）2，即|+|，故|+|的最大值为，故答案为：【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题17（4分）若存在实数b使得关于x的不等式|asin2x+（4a+b）sinx+13a+2b|2sinx4恒成立，则实数a的取值范围是1，1【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin
21、x1，3，可得|a（2+sinx）+b|2恒成立，讨论a0，a0，a0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围【解答】解：|asin2x+（4a+b）sinx+13a+2b|2sinx4，即为|a（sin2x+4sinx+4）+b（2+sinx）+9a|2（2+sinx），即有|a（2+sinx）2+b（2+sinx）+9a|2（2+sinx），由2+sinx1，3，可得|a（2+sinx）+b|2恒成立，当a0时，显然成立；当a0，可得a（2+sinx）+6a，10a，2ba（2+sinx）+2b，可得2b6a且2b10a，可得26ab210a，即26a210a，可得0a1；
22、当a0，可得a（2+sinx）+6a，10a，可得2b6a且2b10a，可得2+6ab2+10a，即2+6a2+10a，可得1a0；综上可得a的范围是1，1故答案为：1，1【点评】解决不等式恒成立问题，注意运用转化思想和换元法，以及函数的单调性，注意绝对值不等式的解法三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（15分）已知函数f（x）2sin2（x+）cos2x，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在0，上的最大值与最小值【分析】（）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，周期公式可得所求；（）由正弦函数的图象可得sin（2x），1，可得最值【解答】解：
23、（）f（x）2sin2（x+）cos2x1cos2（x+）cos2x1+sin2xcos2x1+2sin（2x），可得f（x）的最小正周期为；（）由x0，可得2x，则sin（2x），1，即有f（x）的最小值为1，最大值为3【点评】运用降幂公式和辅助角公式，以及正弦函数的图象和性质是解题的关键19（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与圆C：（x3）2+（y1）28相交与P，Q两点（）求线段PQ的长；（）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求MNC面积最大时的直线NM的方程【分析】（）由两圆方程作差可得PQ所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长；（）由已知可得，|MC|，
24、|NC|，得到SMNC2sinMCN，当MCN90时，SMCN求得最大值求出直线CN的方程，与圆的方程联立求解N，然后分类求解MN所在直线方程【解答】解：（）由圆O：x2+y24，圆C：（x3）2+（y1）28，两式作差可得：3x+y30，点O到直线PQ的距离d，则|PQ|；（）由已知可得，|MC|，|NC|，当MCN90时，SMCN求得最大值此时MCNC，又kCM1，直线CN：yx+4由，解得N（1，3）或N（5，1）当N（1，3）时，kMN3，此时MN的方程为：3x+y60；当N（5，1）时，此时MN的方程为x+3y20MN的方程为3x+y60或x+3y20【点评】本题考查直线与圆、圆与圆
25、位置关系的判定及应用，考查计算能力，是中档题20（15分）在ABC中，角A的平分线交BC于点D，ADC是ABD面积的倍（）求的值；（）若A30，AB1，求AD的值【分析】（）从面积的公式入手，约掉相同的元素，即得结论；（）从三角形内角、外角之间的关系及正弦定理出发，得出角与边的关系【解答】解：（）AD平分角BAC，BADCAD，（）A30，C150B，由（），即，得B120，又AD平分角BAC，ADB30+1545，AB1，由正弦定理知，即，得AD【点评】此题主要考查三角形中的正弦定理和面积计算公式，属一般类计算21（15分）已知f（x）（|x1|3）2（）若函数g（x）f（x）ax2有三个零
26、点，求实数a的值；（）若对任意x|1，1，均有f（2x）2k2x0恒成立，求实数k的取值范围【分析】（）由题意g（x）f（x）ax20等价于f（x）ax+2有三个不同的解，由f（x），画图，结合图象解方程可得a的值；（）设，原不等式等价于，两边同乘t2得：t（|t1|3）22k，设m（t）t（|t1|3），t，原题等价于2km（t）2的最大值，对t讨论求解即可【解答】解：（）由题意g（x）f（x）ax20等价于f（x）ax+2有三个不同的解，由f（x），画图，可得其函数图象如图所示：联立方程：（x4）2ax+2，由（a+8）2560可得，结合图象可知同理（x+2）2ax+2，由（4a）280可
27、得，因为，结合图象可知a4，综上可得：或a4（）设，原不等式等价于，两边同乘t2得：t（|t1|3）22k，设m（t）t（|t1|3），t，原题等价于2km（t）2的最大值，（1）当t1，2时，m（t）t（t4），易得m（t）4，3，（2）当时，m（t）t（t+2），易得m（t），所以m（t）2的最大值为16，即2k16，故k4【点评】本题是函数与方程的综合应用，第一问还要数形结合，整体上看属于难题22（15分）已知数列an满足a1an+1an2+3an+，其中实数1（）求证：数列an是递增数列；（）当1时，（i）求证：an（）n11；（ii）若bn，设数列bn的前n项和为Sn，求整数m的值，
28、使得|S2019m|最小【分析】（）由an+1anan2+2an+（an+1）2+1又an1可得an+1an，即可证明数列an是递增数列；（）（i）由（）可得an+1+1an2+3an+2（an+1）（an+2）即可得（a1+1）（）n1；即可证明（ii）可得即bn，设数列bn的前n项和为Sn，求S2019+2 即可得当m2时，|S2019m|取得最小值【解答】解：（）由an+1anan2+2an+（an+1）2+1an+1an，又因为a1，即an1an+1an数列an是递增数列；（）当1时，（i）由（）可得数列an是递增数列，an+1+1an2+3an+2（an+1）（an+2）（a1+1）an（）n11；（ii）an+1+1（an+1）（an+2），bn，设数列bn的前n项和为Sn，求S2019+2，2当m2时，|S2019m|取得最小值【点评】本题考查了数列的递推式，数列放缩法，属于中档题
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