1、2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项填在答题卷上）1（5分）已知全集UR，则正确表示集合A1，0，1和Bx|x2x关系的韦恩（Venn）图是（）ABCD2（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+）上是增函数的是（）AyexexByCysinxDyln|x|3（5分）已知（1，0），（1，1），且（），则（）A2B1C0D14（5分）已知tan，则sincos（）ABCD5（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD6（5分）已知（cos15，sin15），（cos7
2、5，sin75），则|（）A2BCD17（5分）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，则使得f（2x）f（）成立的x的取值范围是（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）D（1，+）8（5分）如图所示，ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，则（）ABCD9（5分）已知 ，为锐角，且tan7，sin（），则cos2（）ABCD10（5分）若0ab1，则错误的是（）Aa3b2B2a3bClog2alog3bDloga2logb311（5分）将函数f（x）cos2xsin2x的图象向右平移个单位后得到的图象关于直线x对称，则的最小正值为（）ABCD12（5分）如图，直线AB与单位圆相切于点
3、O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记AOPx（0x），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记Sf（x），则下列选项判断正确的是（）A当x时，SB当任意x1，x2（0，），且x1x2，都有0C对任意x（0，），都有f（）+f（）D对任x（0，），都有f（x+）f（x）+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）计算： 14（5分）在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点若DE与对角线AC相交于F且 ，则 15（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：定义域为R；值域为0，1；f（x）f（x）0试写出一个函数解析式f（x） 16（5分）已
4、知函数f（x）sin（2x+），xR，那么函数yf（x）的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有 个三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知cos，（1）求sin2的值；（2）求cos（）cos（）的值18（12分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象如图所示（1）求函数的解析式（2）当x2，3时，求函数f（x）的最大值和最小值19（12分）如图，已知矩形ABCD，AB2，AD，点P为矩形内一点，且|1，设，BAP（1）当，求的值（2）（）的最大值20（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员
5、血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，f（x）根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.822.28，ln10.182.32，ln54.273.99）21（12分）已知函数f（x）lnx，g（x）62x，设H（x）m
6、inf（x），g（x）（其中minp，q表示p，q中的较小者）（1）在坐标系中画出H（x）的图象；（2）设函数H（x）的最大值为H（x0），试判断H（x0）与1的大小关系，并说明理由，（参考数据：ln2.50.92，ln2.6250.97，ln2.751.01）22（12分）已知f（x）x|xa|（a0），（1）当a2时，求函数f（x）在1，3上的最大值；（2）对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立，求实数a的取值范围2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请
7、将正确的选项填在答题卷上）1（5分）已知全集UR，则正确表示集合A1，0，1和Bx|x2x关系的韦恩（Venn）图是（）ABCD【分析】先求出集合B，结合元素关系判断B是A的真子集，即可得到结论【解答】解：B0，1，则BA，则对应的Venn图是B，故选：B【点评】本题主要考查Venn图的应用，求出集合元素，判断集合关系是解决本题的关键2（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+）上是增函数的是（）AyexexByCysinxDyln|x|【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否命题即可【解答】解：Af（x）exex（exex）f（x），则f（x）是奇函数，yex是增函数，yex是减函数，则
8、yexex是增函数，满足条件，By的定义域为0，+），则函数为非奇非偶函数，不满足条件Cysinx是奇函数，则（1，+）上不单调，不满足条件Df（x）ln|x|ln|x|f（x）是偶函数，不满足条件故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键3（5分）已知（1，0），（1，1），且（），则（）A2B1C0D1【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得（）的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得（）（1+）1+00，解可得的值，即可得答案【解答】解：根据题意，已知（1，0），（1，1），则（）（1+，），若（），则（）（1+）1+00，
9、解可得1；故选：D【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系4（5分）已知tan，则sincos（）ABCD【分析】由已知求得值，进一步求得sin、cos的值得答案【解答】解：由tan，且，得，sincossincos故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了特殊角得三角函数值，是基础题5（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【解答】解：f（x）x2+ln|x|f（x），yf（x）为偶函数，yf（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x0时，y，故排除D，或者根据，
10、当x0时，yx2+lnx为增函数，故排除D，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题6（5分）已知（cos15，sin15），（cos75，sin75），则|（）A2BCD1【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，代入向量模的计算公式求解【解答】解：（cos15，sin15），（cos75，sin75），（cos75cos15，sin75sin15），则故选：D【点评】本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题7（5分）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，则使得f（2x）f（）成立的x的取值范围是（）A（1，1）B
11、（，1）（1，+）C（，1）D（1，+）【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，不等式f（2x）f（）等价为f（2x）f（），即2x，即x1，即x的取值范围是（，1），故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键8（5分）如图所示，ABC是顶角为120的等腰三角形，且AB1，则（）ABCD【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可【解答】解：，ABC是顶角为120 的等腰三角形，且AB1，则AC1，则ABC30，BC，则|cos（180ABC）1故
12、选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是基本知识的考查9（5分）已知 ，为锐角，且tan7，sin（），则cos2（）ABCD【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，sin，cos（）的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：，为锐角，且tan7，sin（），cos，sin，可得：（，），可得：cos（），coscos（）cos（）cos+sin（）sin+，cos22cos212（）21故选：B【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10（5分）若0a
13、b1，则错误的是（）Aa3b2B2a3bClog2alog3bDloga2logb3【分析】对a，b取特殊值，作差判断即可【解答】解：对于A：a3a2b2，正确；对于B：2a3a3b，正确；对于C：log2alog3b，正确；对于D：不妨令a，b，则loga2logb3230，故loga2logb3，故选：D【点评】本题考查了不等关系的判断，考查特殊值的应用，考查对数的运算，是一道基础题11（5分）将函数f（x）cos2xsin2x的图象向右平移个单位后得到的图象关于直线x对称，则的最小正值为（）ABCD【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数
14、的图象的对称性，求得的最小正值【解答】解：将函数f（x）cos2xsin2x2cos（2x+） 的图象向右平移个单位后，可得y2cos（2x2+） 的图象再根据得到的图象关于直线x对称，可得2+k，kZ，即+，则的最小正值为，故选：C【点评】本题主要考查三角恒等变换，yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题12（5分）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记AOPx（0x），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记Sf（x），则下列选项判断正确的是（）A当x时，SB当任意x1，x2（0，），且x1x2，
15、都有0C对任意x（0，），都有f（）+f（）D对任x（0，），都有f（x+）f（x）+【分析】A，由题意当x时，OP所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S为半个单位圆；B，对任意x（0，），依题意可得函数Sf（x）单调增，即可判定；C，根据图形可得f（x）+f（x）刚好为单位圆的面积D，当x时，f（），即可判定【解答】解：对于A，由题意当x时，OP所经过的在单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S为半个单位圆圆O的半径为1，故S，故错；对于B，依题意可得函数Sf（x）单调增，所以对任意x1，x2（0，），且x1x2，都有，故错；对于C，对任意x（0，），根据图形可得f（x）+f（x）刚好为
16、单位圆的面积，都有f（）+f（），故正确；对于D，当x时，f（），故错；故选：C【点评】本题考查了函数的性质与实际问题的结合，通过几何图形得到函数的对称性、单调性是关键属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）计算：4【分析】利用对数恒等式、对数运算性质即可得出【解答】解：原式3+3+lg104故答案为：4【点评】本题考查了对数恒等式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点若DE与对角线AC相交于F且 ，则3【分析】用，表示出，根据三点共线得出的值【解答】解：，（），又，+，D，E，F三点共线，1，解
17、得3故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的应用，属于中档题15（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：定义域为R；值域为0，1；f（x）f（x）0试写出一个函数解析式f（x）|sinx|【分析】根据函数的定义域以及函数的值域，结合函数的奇偶性求出函数的解析式即可【解答】解：结合题意得f（x）的定义域是R，值域是0，1，函数是偶函数，故f（x）|sinx|或或（答案不唯一），故答案为：|sinx|【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考查函数的奇偶性，是一道基础题16（5分）已知函数f（x）sin（2x+），xR，那么函数yf（x）的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有8个【分析】通过
18、作出草图，结合比较特殊函数值的关系可得结论【解答】解：令f（x）sin（2x+）1可知x+k，因为ylgx为（0，+）上单调递增，所以，由（0，1）可知lg（）（1，0），由+（1，10）可知lg（+）（0，1），由+2（1，10）可知g（+2）（0，1），由+3（1，10）可知g（+3）（0，1），由+4（10，+）可知g（+4）（1，2），又因为f（1）sin（2+）0，lg（1）0，所以函数图象共有八个交点，故答案为：8【点评】本题考查函数的图象，考查数形结合思想，涉及对数函数、三角函数，作出草图是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答
19、必须写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知cos，（1）求sin2的值；（2）求cos（）cos（）的值【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解（2）由（1）及两角和的余弦函数公式，诱导公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（1）cos，sin，1分sin22sincos24分（2）cos（）（cossin）6分cos（）sin，8分cos（）cos（）（）（）10分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想
20、，属于基础题18（12分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象如图所示（1）求函数的解析式（2）当x2，3时，求函数f（x）的最大值和最小值【分析】（1）由图象可求T，利用周期公式可求，将点（，0）代入ysin（x+），结合范围0，可求，即可得解函数的解析式（2）由题意求x2，3时，函数f（x）的最大值和最小值就是转化为求函数在区间0，1上的最大值和最小值，利用正弦函数的图象可求最大值和最小值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由图象可知，1，则T2，可得：，2分将点（，0）代入ysin（x+），可得：sin（+）0，所以可得：+k，kZ，解得：+k，kZ，因为：0，所以：，可得函
21、数的解析式为：ysin（x+）6分（2）因为函数f（x）sin（x+）的周期是T2，所以求x2，3时，函数f（x）的最大值和最小值就是转化为求函数在区间0，1上的最大值和最小值，8分由函数图象可知，当x0时，函数取得最大值为f（0）sin，当x时，函数取得最小值为f（）sin（+）1，12分注：本题也可以直接求函数f（x）sin（x+）在区间x2，3上的最大值和最小值，也可以补全函数在x2，3上的图象求解，说理正确即可给分【点评】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题19（12分）如图，已知矩形ABCD，AB2，AD
22、，点P为矩形内一点，且|1，设，BAP（1）当，求的值（2）（）的最大值【分析】（1）以A为坐标原点建立直角坐标系，分别求得A，B，C，D，P的坐标，运用向量数量积的坐标表示，计算可得结果；（2）设P（cos，sin），分别求得向量（2cos，sin），（cos，sin），（cos，sin），运用向量数量积的坐标表示，结合辅助角公式和正弦函数的图象和性质，即可得到所求最大值【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，），D（0，），P（cos，sin），即（，），（，）（，）（）+（）20；（2）设P（cos，sin），则（2cos，sin），（
23、cos，sin），（cos，sin），可得+（22cos，22sin），则（+）2cos2cos2+2sin2sin24（sin+cos）24sin（+）2，当+，即时，（）取得最大值422【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查三角函数的定义和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题20（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，
24、经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，f（x）根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.822.28，ln10.182.32，ln54.273.99）【分析】（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0x2，此时f（x）44.21sin（x）+0.21，根据正弦函数的性质即可求出，（2）由题意可得54.27e0.3x+10.1820，两边取对数，解得即可求出【解答】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最
25、大值时，0x2此时f（x）44.21sin（x）+0.21当x时，即x时，函数f（x）取得最大值为ymax44.21+0.2144.42，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x2，由54.27e0.3x+10.1820，得e0.3x，两边取自然对数得lne0.3xln，即0.3xln9.82ln54.27，x5.7，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车【点评】本题主要考查了分段函数求解析式，以及求函数的最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题21（12分）已知函
26、数f（x）lnx，g（x）62x，设H（x）minf（x），g（x）（其中minp，q表示p，q中的较小者）（1）在坐标系中画出H（x）的图象；（2）设函数H（x）的最大值为H（x0），试判断H（x0）与1的大小关系，并说明理由，（参考数据：ln2.50.92，ln2.6250.97，ln2.751.01）【分析】（1）分别作出f（x）与g（x）的图象，然后取位于下方的部分即可；（2）记x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标则有H（x0）f（x0）g（x0），构造函数F（x）f（x）g（x）lnx+2x6，利用零点的存在性定理及F（x）的单调性可得结论【解答】解：（1）作出函数H（x）的
27、图象如下：（2）由题意可知，x0为函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标，且lnx062x0，所以H（x0）f（x0）g（x0），设F（x）f（x）g（x）lnx+2x6，则x0即为函数F（x）的零点因为F（2.5）ln2.510，F（e）1（62e）2e50，所以F（2.5）F（e）0，又F（x）在（0，+）上单调递增，且为连续函数，所以F（x）有唯一零点x0（2.5，e）因为函数g（x）在（0，+）上单调递减，从而H（x0）g（x0）g（2.5）1，即H（x0）1【点评】本题考查函数的图象，考查作图，考查零点的存在性定理，考查数形结合思想，注意解题方法的积累，属于中档题22（12分）已知f
28、（x）x|xa|（a0），（1）当a2时，求函数f（x）在1，3上的最大值；（2）对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立，求实数a的取值范围【分析】（1）化为分段函数，画出图象，根据图象可求出最大值，（2）化为分段函数，画出图象，即对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立转化为f（x）maxf（x）min4成立，分类讨论即可求出a的范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）x|x2|，结合图象可知，函数f（x）在1，1上是增函数，在（1，2为减函数，在（2，3上为增函数，f（1）1，f（3）3，函数f（x）在1，3上的最大值为f（3）3，（2）f（x）x
29、|xa|，（a0），由题意可得f（x）maxf（x）min4成立，当1时，即a2时，函数f（x）在1，1上为增函数，f（x）maxf（1）a1，f（x）minf（1）a1，从而（a1）+a+12a4，解得a2，故a2，f（），由x（xa）得4x24axa20，解得xa，或xa0（舍去），当1a时，即2（1）a2，此时f（x）maxf（），f（x）minf（1）a1，从而+a+1（a+2）24成立，故2（1）a2，当1a时，即a2（1），此时f（x）maxf（1）1a，f（x）minf（1）a1，从而1a+a+124成立，故a2（1），综上所述a的取值范围（0，2【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及分段函数的问题，考查了转化能力和运算能力以及分类讨论的能力，属于难题
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