1、2018-2019学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）已知A1，3，B3，4，5，则集合AB（）A3B4，5C1，2，4，5D3，4，52（5分）已知向量，向量（1，x）若，则x的值是（）A1B2C1D23（5分）要得到函数ycos（2x+3）的图象，只要将函数ycos2x的图象（）A位向左平移个单位B向左平移3个单C向右平移3个单位D向右平移个单位4（5分）函数f（x）exx2的一个零点所在的区间为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）5（5分）已知a（），b（），cl
2、n3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba6（5分）已知cos（），则sin（）的值是（）ABCD7（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD8（5分）已知函数，若f（f（1）18，那么实数a的值是（）A0B1C2D39（5分）如图所示是yAsin（x+）（A0，0）的图象的一段，它的一个解析式为（）Aysin（2x+）Bysin（+）Cysin（x）Dysin（2x+）10（5分）在ABC中，若，则O为ABC的（）A外心B内心C重心D垂心11（5分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由
3、圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于4米的弧田下列说法不正确的是（）A“弦”AB4米，“矢”CD2米B按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米C按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米D按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据，3.14）12（5分）定义域为R的偶函数f（x），满足对任意的xR有f（x+2）f（x），且当x2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（|x|+1）在R上至少有六个零点，则a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5
4、分）若f（x）ax（a0）的图象过点（2，4），则a 14（5分）cos18cos42cos72sin42 15（5分）已知关于x的不等式x2x+a10在R上恒成立，则实数a的取值范围是 16（5分）已知函数f（x）（x2+x）（x25x+6），则f（x）的最小值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）计算：（2）若，求18（12分）已知向量，向量（1）求向量的坐标；（2）当k为何值时，向量与向量共线19（12分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求f（x）的最小正周期；（
5、2）求f（x）的单调递增区间20（12分）已知函数f（x）x+的图象过点P（1，5）（1）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；（2）利用单调性定义证明f（x）在区间2，+）上是增函数21（12分）已知函数f（x）sin（x+）cos（x+）（0，0）为偶函数，且函数yf（x）的图象相邻的两条对称轴间的距离为（1）求f（）的值；（2）将yf（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求yg（x）在上的最值22（12分）设函数是定义域为R的奇函数（1）若f（1）0，求使不等式f（kxx2）+f（x1）0对一切xR恒成立的
6、实数k的取值范围；（2）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m（m1），使函数在1，log23上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）已知A1，3，B3，4，5，则集合AB（）A3B4，5C1，2，4，5D3，4，5【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合AB，根据交集的定义可直接求出所求【解答】解：A1，3，B3，4，5，AB3故选：A【点评】本题直接考查了集合的交集，同时考查了运算求解的能力，
7、属于基础题，容易题2（5分）已知向量，向量（1，x）若，则x的值是（）A1B2C1D2【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【解答】解：；x2故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算3（5分）要得到函数ycos（2x+3）的图象，只要将函数ycos2x的图象（）A位向左平移个单位B向左平移3个单C向右平移3个单位D向右平移个单位【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数ycos2x的图象象左平移个单位，可得函数ycos（2x+3）的图象，故选：A【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题
8、4（5分）函数f（x）exx2的一个零点所在的区间为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】将x1，x0，x1代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案【解答】解：f（1）+1210，f（0）1210，f（1）e120，f（2）e240，函数f（x）的零点在（1，2）内，故选：C【点评】本题考查了函数的零点的判定定理，是一道基础题5（5分）已知a（），b（），cln3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba【分析】由幂函数的增减性可得：函数yx在（0，+）单调递增，又，所以（）（）1，即得解【解答】解：因为cln3lne1，a（）（），又函数yx在
9、（0，+）单调递增，又，所以（）（）1，故cba，故选：D【点评】本题考查了幂函数的增减性，属简单题6（5分）已知cos（），则sin（）的值是（）ABCD【分析】由已知及诱导公式即可计算求值【解答】解：cos（）sin（）sin（），故选：C【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题7（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】通过的奇偶性排除选项，利用特殊值对应点判断选项即可【解答】解：函数yx2+ln|x|是偶函数，排除选项B、C，当x时，y，x0时，函数是增函数，排除D故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性特殊值是
10、判断函数的图象的常用方法8（5分）已知函数，若f（f（1）18，那么实数a的值是（）A0B1C2D3【分析】推导出f（1）3+14，从而f（f（1）f（4）4a+218，由此能求出a的值【解答】解：函数，f（f（1）18，f（1）3+14，f（f（1）f（4）4a+218，解得a2故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）如图所示是yAsin（x+）（A0，0）的图象的一段，它的一个解析式为（）Aysin（2x+）Bysin（+）Cysin（x）Dysin（2x+）【分析】根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T求，图象过（），代入求，
11、即可求函数f（x）的解析式；【解答】解：由图象的最高点，最低点可得A，周期T，图象过（），可得：则解析式为ysin（2x+）故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系10（5分）在ABC中，若，则O为ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【分析】由 得到 从而 所以OBAC，同理得到OABC，所以点O是ABC的三条高的交点【解答】解；OBAC，同理由 ，得到OABC点O是ABC的三条高的交点故选：D【点评】本题考查三角形五心、向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求11（5分）九章算术是我国古代数学成就的杰
12、出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于4米的弧田下列说法不正确的是（）A“弦”AB4米，“矢”CD2米B按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米C按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米D按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据，3.14）【分析】运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论【解答】解：如图，由题意可得AOB，OA4，在RtAO
13、D中，可得AOD，DAO，ODAO，可得矢422，由ADAOsin42，可得弦2AD4，所以弧田面积（弦矢+矢2）（42+22）4平方米实际面积，可得A，B，D正确；C错误故选：C【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题12（5分）定义域为R的偶函数f（x），满足对任意的xR有f（x+2）f（x），且当x2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（|x|+1）在R上至少有六个零点，则a的取值范围是（）ABCD【分析】画出函数的图象，利用换元法，转化求解函数的零点个数，推出结果【解答】解：当x2，3）时，f（x）2x
14、2+12x182（x3）2，图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线，函数yf（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令g（x）loga（|x|+1），因为f（x）0，所以g（x）0，可得0a1，要使函数yf（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，如图要求g（2）f（2），loga（2+1）f（2）2loga32，可得3a，a0，所以0，故选：A【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合以及转化思想以及计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若f（x）ax（a0）的图象过点（2，4），则a2【分析】代值计算即可【解答】解：函数f（x）
15、的图象过点（2，4），可得4a2，又a0，解得a2故答案为：2【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题14（5分）cos18cos42cos72sin42【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题15（5分）已知关于x的不等式x2x+a10在R上恒成立，则实数a的取值范围是（或）【分析】由题意，利用判别式0求得a的取值范围【解答】解：关于x的不等式x2x+a10在R上恒成立，所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点，所以判别式（1）24（a1）0，解得，所以a的取值范围为故答案为：，+）【点评】本题考
16、查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题16（5分）已知函数f（x）（x2+x）（x25x+6），则f（x）的最小值为【分析】化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可【解答】解：f（x）（x2+x）（x25x+6）x（x+1）（x2）（x3）x（x2）（x+1）（x3）（x22x）（x22x3），不妨令tx22x1，则（t1），所以当时，f（x）的取最小值【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）计算：（2）若，求【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）利用同角三角函数基
17、本关系式化弦为切求解【解答】解：（1）log23（log23log26）+log26log23+log261；（2），cos0，【点评】本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题18（12分）已知向量，向量（1）求向量的坐标；（2）当k为何值时，向量与向量共线【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解；（2）由向量的数乘及减法运算求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算求解【解答】解：（1），；（2）k（1，2）+（3，2）（k3，2k+2），由（1）知（7，2），与共线，7（2k+2）2（k3），解得k【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题19（12
18、分）已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间【分析】（1）利用二倍角和，辅助角公式化简即可求解f（x）的最小正周期；（2）根据正弦函数的性质即可求解f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1sin2x+cos2xsin（2x+），（1）f（x）的最小正周期T，（2）f（x）sin（2x+），由，得：x，f（x）的单调递增区间为：，kZ【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题20（12分）已知函数f（x）x+的图象过点P（1，5）（1）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；
19、（2）利用单调性定义证明f（x）在区间2，+）上是增函数【分析】（1）代入点P，求得m，再由奇函数的定义，即可得证；（2）根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证【解答】解：（1）f（x）x+的图象过点P（1，5），51+m，m4，f（x）x+，f（x）的定义域为x|x0，关于原点对称，f（x）x+，又f（x）x，f（x）f（x），f（x）是奇函数（2）证明：设x2x12，则f（x2）f（x1）x2x1+（x2x1）（1）（x2x1），又x2x10，x12，x22，x1x24，f（x2）f（x1）0，f（x2）f（x1），即f（x）在区间2，+）上是增函数【点评】本题考查函数
20、的奇偶性的判断和证明，注意运用定义法，考查推理和运算能力21（12分）已知函数f（x）sin（x+）cos（x+）（0，0）为偶函数，且函数yf（x）的图象相邻的两条对称轴间的距离为（1）求f（）的值；（2）将yf（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求yg（x）在上的最值【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再由题意利用三角函数的图象和性质求得和的值，可得函数的解析式，进而求得f（）的值（2）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得yg（x）在上的
21、最值【解答】解：（1）函数f（x）sin（x+）cos（x+）2sin（x+）（0，0）为偶函数，又函数yf（x）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，2，f（x）2sin（2x）2cos2x，故f（）2cos（2）将yf（x）的图象向右平移个单位后，可得y2cos（2x）的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）2cos（x）的图象在上，x，故当x0时，g（x）取得最小值为2；当x时，g（x）取得最大值为0【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题22（12分）设函数
22、是定义域为R的奇函数（1）若f（1）0，求使不等式f（kxx2）+f（x1）0对一切xR恒成立的实数k的取值范围；（2）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m（m1），使函数在1，log23上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由f（1）0得a又a0，求出a1，判断函数的单调性f（x）axax为R上的增函数，不等式整理为x2（k+1）x+10对一切xR恒成立，利用判别式法求解即可；（2）把点代入求出a2，假设存在正数m，构造函数设s2x2x则（2x2x）2m（2x2x）+2s2ms+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值【解答】解：（1）f（x）axax，由f（
23、1）0得 ，又 a0，a1，f（kxx2）+f（x1）0，函数f（x）是奇函数，f（kxx2）f（1x），a1，f（x）axax在R上为增函数，即 kxx21x对一切x恒成立，即x2（k+1）x+10在R恒成立，有0，（k+1）240，得3k1，所以k的取值范围是（3，1），（2）假设存在正数m（m1）符合，f（x）过，a2，设s2x2x，h（s）s2ms+2，（i） 若0m1，则函数h（s）s2ms+2在上最小值为1，对称轴，（舍），（ii） 若m1，则h（s）s2ms+20在上恒成立，且最大为1，最小值大于0，此时 ，故不合题意，此时无解，综上所述，不存在正数m（m1）满足条件【点评】考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题
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