1、第21章 一元二次方程一选择题（共8小题）1下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A+2x+10Bmx2+mx+50C2x2+3x（2x1）D（x+1）23x+12关于x的一元二次方程（a1）x2+x+|a|10的一个根是0，则实数a的值为（）A1B0C1D1或13关于x的方程（a6）x28x+60有实数根，则整数a的最大值是（）A6B7C8D94如果关于x的一元二次方程kx26x+90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）Ak1Bk0Ck1且k0Dk15某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（
2、1x）2108B168（1x2）108C168（12x）108D168（1+x）21086三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x216x+600的一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B24或8C48D87三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x26x+80的解，则这个三角形的周长是（）A8B8或10C10D8和108如图，是一个简单的数值运算程序则输入x的值为（）A3或3B4或2C1或3D27二填空题（共9小题）9若（m2）mx+10是一元二次方程，则m的值为 10把一元二次方程（x+1）（1x）2x化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项的系数是 ，常
3、数项是 ；11一元二次方程a24a70的解为 12若（x2+y2）23（x2+y2）700，则x2+y2 13若x1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+10的一个解，则m的值为 14关于x的一元二次方程kx2x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 15有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 人患有流感16关于x的一元二次方程ax2+bx+10有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a ，b 17某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均
4、每次降价的百分率是 三解答题（共4小题）18用适当的方法解方程：（1）9（2x5）240；（2）2x2x15019问题：已知方程x2+x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y2x，所以x把x代入已知方程，得（）2+10化简，得：y2+2y40这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们成为“换根法”，请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；（1）已知方程x2+x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的
5、根分别是已知方程根的倒数20嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的求根公式时，对于b24ac0的情况，她是这样做的：由于a0，方程ax2+bx+c0变形为：x2+x，第一步x2+x+（）2+（）2，第二步（x+）2，第三步x+（b24ac0），第四步x，第五步嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b24ac0时，方程ax2+bx+c0（aO）的求根公式是 用配方法解方程：x22x24021已知：关于x的方程x2+（84m）x+4m20（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求
6、出满足条件的m值；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A+2x+10Bmx2+mx+50C2x2+3x（2x1）D（x+1）23x+1【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可【解答】解：A、不是整式方程，所以不是；B、二次项系数m可能为0，所以不是；C、去括号，移项合并同类项后不含有二次项，所以不是；D、可整理为x2x0，所以是一元二次方程；故选：D2关于x的一元二次方程（a1）x2+x+|a|10的一个根是0，则实数a的值为（）A1B0C1D1或1【分析】先把x0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a1舍去【解答】
7、解：把x0代入方程得：|a|10，a1，a10，a1故选：A3关于x的方程（a6）x28x+60有实数根，则整数a的最大值是（）A6B7C8D9【分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a60，即a6；当是一元二次方程时，有实数根，则0，求出a的取值范围，取最大整数即可【解答】解：当a60，即a6时，方程是8x+60，解得x；当a60，即a6时，（8）24（a6）620824a0，解上式，得a8.6，取最大整数，即a8故选C4如果关于x的一元二次方程kx26x+90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）Ak1Bk0Ck1且k0
8、Dk1【分析】方程有两个不相等的实数根，则0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围【解答】解：由题意知：k0，3636k0，k1且k0故选：C5某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1x）2108B168（1x2）108C168（12x）108D168（1+x）2108【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1x），第二次后的价格是168（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：1
9、68（1x）2108故选：A6三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x216x+600的一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B24或8C48D8【分析】本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S底高求出面积【解答】解：x216x+600（x6）（x10）0，x6或x10当x6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形高h2，S828；当x10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形S6824S24或8故选：B7三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x26x+80的解，则这个三角形的周长是（）A8B8或10C10D8和
10、10【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可【解答】解：解方程x26x+80得第三边的边长为2或4边长为2，4，2不能构成三角形；而2，4，4能构成三角形，三角形的周长为2+4+410，故选C8如图，是一个简单的数值运算程序则输入x的值为（）A3或3B4或2C1或3D27【分析】首先根据题意列出方程：（x1）2（3）27，解方程即可求得答案【解答】解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x1）2（3）27，化简得：（x1）29，x13，解得x4或x2故选：B二填空题（共9小题）9若（m2）mx+10是一元二次方程，则m的值为2【分析】本题根据一元
11、二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：根据题意得：，解得：m2故答案是：210把一元二次方程（x+1）（1x）2x化成二次项系数大于零的一般式是x2+2x10，其中二次项系数是1，一次项的系数是2，常数项是1；【分析】通过去括号，移项，可以得到一元二次方程的一般形式，然后写出二次项系数，一次项系数和常数项【解答】解：去括号：1x22x移项：x2+2x10二次项系数是：1，一次项系数是：2，常数项是：1故答案分别是：x2+2x10，1，2，111一元二次方程a24a70的解为a12+，
12、a22【分析】用公式法直接求解即可【解答】解：a2，a12+，a22，故答案为：a12+，a2212若（x2+y2）23（x2+y2）700，则x2+y210【分析】设x2+y2t，原方程可化为t23t700，求得t的值，再得出答案即可【解答】解：设x2+y2t，原方程可化为t23t700，解得t110，t27，x2+y20，x2+y210，故答案为1013若x1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+10的一个解，则m的值为1【分析】根据x1是已知方程的解，将x1代入方程即可求出m的值【解答】解：将x1代入方程得：13+m+10，解得：m1故答案为：114关于x的一元二次方程kx2x+10有两
13、个不相等的实数根，则k的取值范围是k且k0【分析】根据一元二次方程kx2x+10有两个不相等的实数根，知b24ac0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可【解答】解：kx2x+10有两个不相等的实数根，14k0，且k0，解得，k且k0；故答案是：k且k015有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有512人患有流感【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，进而求出第三轮过后，共有多少人感染【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）64x7或x9（舍去）64+64
14、7512（人）经过第三轮后，共有512人患有流感故答案为：51216关于x的一元二次方程ax2+bx+10有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a1，b2【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根；进而得出答案【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+10有两个相等的实数根，b24acb24a0，符合一组满足条件的实数a、b的值：a1，b2等故答案为：1，217某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每
15、盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1x），第二次后的价格是25（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1x）216，解得x0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%三解答题（共4小题）18用适当的方法解方程：（1）9（2x5）240；（2）2x2x150【分析】先观察方程然后再确定各方程的解法；（1）可用直接开平方法，（2）可用因式分解法解方程【解
16、答】（1）解：化简得：，直接开平方得：，解得：x1，x2；（2）解：因分式解得：（x3）（2x+5）0，x30或2x+50，解得：19问题：已知方程x2+x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y2x，所以x把x代入已知方程，得（）2+10化简，得：y2+2y40这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们成为“换根法”，请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；（1）已知方程x2+x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个不等于零的实数根，求一个
17、一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数【分析】（1）设所求方程的根为y，则yx，则xy将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；（2）设所求方程的根为y，则y，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则yx，则xy把xy代入已知方程x2+x20，得 （y）2+（y）20化简，得：y2y20（2）设所求方程的根为y，则y，所以x把x代入已知方程ax2+bx+c0（a0）得a（）2+b+c0，去分母，得 a+by+cy20若c0，则ax2+bx0，于是方程ax2+bx+c0（a0）有一根为0，不符合题意c0，故所求的方程为：cy2+by+a0（c
18、0）20嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的求根公式时，对于b24ac0的情况，她是这样做的：由于a0，方程ax2+bx+c0变形为：x2+x，第一步x2+x+（）2+（）2，第二步（x+）2，第三步x+（b24ac0），第四步x，第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b24ac0时，方程ax2+bx+c0（aO）的求根公式是x用配方法解方程：x22x240【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方【解答】解：在第四步中，开方应该是x+所以求根公式为：x故答案是：四；x；用配方法解方程：x22x240解：移项
19、，得x22x24，配方，得x22x+124+1，即（x1）225，开方得x15，x16，x2421已知：关于x的方程x2+（84m）x+4m20（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式0，建立关于m的等式，由此求出m的取值再化简方程，进而求出方程相等的两根；（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22136，即（x1+x2）22x1x2136根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式【解答】解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有b24ac（84m）216m26464m0，解得m1，当m1时，原方程为x2+4x+40，x1x22；（2）不存在假设存在，则有x12+x22136x1+x24m8，x1x24m2，（x1+x2）22x1x2136即（4m8）224m2136，m28m90，（m9）（m+1）0，m19，m21（84m）216m26464m0，0m1，m19，m21都不符合题意，不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136
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