2018-2019学年广西南宁三中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

1、2018-2019学年广西南宁三中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若sin，则为第四象限角，则tan的值等于（）ABCD2（5分）已知（1，2），（x，2），且 ，则|（）ABC10D53（5分）数列0，的一个通项公式为（）AanBanCanDan4（5分）在等差数列an中，若a24，a42，则a6（）A1B0C1D65（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b3，A60，则边c（）A1B2C4D66（5分）已知向量（k，12），（ 4，5 ），（k，10 ），且A、B、C三点共线，则 k 的值是（）ABCD7（5分）在数列an中，已知a

2、11，an+12an+1，则其通项公式为an（）A2n1B2n11C2n1D2（n1）8（5分）函数f（x）cos2x+6cos（x）的最大值为（）A4B5C6D79（5分）数列an中，已知对任意nN*，a1+a2+a3+an3n1，则a12+a22+a32+an2等于（）A（3n1）2BC9n1D10（5分）已知：|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设m+n（m，nR），则的值为（）A2BC3D411（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xR，有f（x）f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）12（5分

3、）已知数列an的通项公式为an（nN*），其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，S2019中，有理数项的项数为（）A42B43C44D45二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC 15（5分）已知向量（3，4），（6，3），（5m，3m）若ABC为锐角，则实数m的取值范围是 16（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a26，a3+a627，设Tn，若对于一切正整数n，总有Tnt成立，则实数

4、t的取值范围是 三、解答题（共70分）17（10分）已知函数f（x）（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值18（12分）（1）已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a223，S510，求a9（2）已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，求xyz的值19（12分）（1）已知非零向量，满足|4|，且（2+），求与的夹角（2）设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，求的值20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2ab）cosCccosB0（）求角C的值；（）若三边

5、a，b，c满足a+b13，c7，求ABC的面积21（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33（1）求an；（2）设bn，数列bn的前n项和记为Tn，求Tn22（12分）若数列an的前n项和Sn2an2（1）求数列an的通项公式；（2）若bnanlogan，Snb1+b2+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+10恒成立，试求实数m的取值范围2018-2019学年广西南宁三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）若sin，则为第四象限角，则tan的值等于（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos，然后求

6、解即可【解答】解：sin，则为第四象限角，cos，tan故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力2（5分）已知（1，2），（x，2），且 ，则|（）ABC10D5【分析】由向量平行的坐标关系求出x，然后求模【解答】解：因为（1，2），（x，2），且 ，所以2x+20，解得x1；所以（1，2），则|；故选：B【点评】本题考查了向量平行的坐标关系以及由向量的坐标求模；属于基础题3（5分）数列0，的一个通项公式为（）AanBanCanDan【分析】由各项数列各项的分子偶数列，分母为奇数列，由此可得数列的通项公式【解答】解：数列各项的分子偶数列，分母为奇

7、数列，故通项公式为an，故选：A【点评】本题考查数列的通项公式的求解，找出其中的规律是解决问题的关键，属基础题4（5分）在等差数列an中，若a24，a42，则a6（）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，若a24，a42，则a4（a2+a6）2，解得a60故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b3，A60，则边c（）A1B2C4D6【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA，139+c23c，化为c23c40，解得c

8、4故选：C【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与技能数列，属于中档题6（5分）已知向量（k，12），（ 4，5 ），（k，10 ），且A、B、C三点共线，则 k 的值是（）ABCD【分析】利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件，列出方程求出k的值【解答】解：；A、B、C三点共线共线2（4k）7（2k）解得故选：A【点评】解决三点共线问题，常转化为以三点为起点、终点的向量共线，再利用向量共线的充要条件解决7（5分）在数列an中，已知a11，an+12an+1，则其通项公式为an（）A2n1B2n11C2n1D2（n1）【分析】通过对

9、an+12an+1变形可知an+1+12（an+1），进而计算可得结论【解答】解：an+12an+1，an+1+12（an+1），又a11，a1+11+12，an+122n12n，an2n1，故选：A【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题8（5分）函数f（x）cos2x+6cos（x）的最大值为（）A4B5C6D7【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y12sin2x+6sinx，令tsinx（1t1），可得函数y2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值【解答】解：函数f（x）cos2x

10、+6cos（x）12sin2x+6sinx，令tsinx（1t1），可得函数y2t2+6t+12（t）2+，由1，1，可得函数在1，1递增，即有t1即x2k+，kZ时，函数取得最大值5故选：B【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题9（5分）数列an中，已知对任意nN*，a1+a2+a3+an3n1，则a12+a22+a32+an2等于（）A（3n1）2BC9n1D【分析】由a1+a2+a3+an3n1，可求得an，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案【解答】解：a1+a2+a3+an3n1，a1+a2+a3+a

11、n+13n+11，得：an+13n+13n23n，an23n1当n1时，a13112，符合上式，an23n149n1，4，9，是以4为首项，9为公比的等比数列，a12+a22+a32+an2（9n1）故选：B【点评】本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题10（5分）已知：|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设m+n（m，nR），则的值为（）A2BC3D4【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合m+n求得的坐标，再由与的夹角为30求解【解答】解：|1，|，0，建立平面直角坐标系如图：则，m+n（m，），又与的夹角为30，则

12、的值为3故选：C【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用坐标法使问题变得简单化，是中档题11（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xR，有f（x）f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【分析】由题意，利用周期公式可求由f（x）f（）恒成立，结合范围|，可求，令k（kZ），即可解得f（x）的对称中心，即可得解【解答】解：由f（x）sin（x+）的最小正周期为4，得因为f（x）f（）恒成立，所以f（x），即+2k（kZ），由|，得，故f（x）sin（）令k（kZ），得x2k，（kZ），故f（x）的对称中心为（2k，

13、0）（kZ），当k0时，f（x）的对称中心为（，0），故选：A【点评】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题12（5分）已知数列an的通项公式为an（nN*），其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，S2019中，有理数项的项数为（）A42B43C44D45【分析】本题先要对数列an的通项公式an运用分母有理化进行化简，然后求出前n项和为Sn的表达式，再根据Sn的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数【解答】解：由题意，可知：anSna1+a2+an

14、1+1S3，S8，S15为有理项，又下标3，8，15，的通项公式为bnn21（n2），n212 019，且n2，解得：2n44，有理项的项数为44143故选：B【点评】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，本题属中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40150【分析】根据数列an是等比数列，Sn为前n项和，且S10100可得，S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等比数列，即可得到结果【解答】解：数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因

15、此有（S20S10）2S10（S30S20），即（S2010）210（70S20），故S2020或S2030，又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150故答案为：150【点评】本题考查了等比数列的性质，属于基础题14（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC【分析】在ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B由于a1，b，由正弦定理可得sinA，再结合ab求得A，可得C，再由 SABCab，运算求得结果【解答】解：在ABC中，由角A，B，C依次成等

16、差数列，可得A+C2B，再由三角形内角和公式求得B由于a1，b，有正弦定理可得 ，解得 sinA，再结合ab求得A，C，故SABCab，故答案为 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、根据三角函数的值求角，属于中档题15（5分）已知向量（3，4），（6，3），（5m，3m）若ABC为锐角，则实数m的取值范围是（，）（，+）【分析】若，求得 m求出 和的坐标，由3+3m+m0，可得m由此可得当ABC为锐角时，实数m的取值范围【解答】解：（3，1）（2m，1m），若，则有3（1m）2m，解得 m由题设知，（3，1），（1m，m），ABC为锐角，3+3m+m0，可得m由题意知，当m 时

17、，故当ABC为锐角时，实数m的取值范围是 （，）（，+），故答案为 （，）（，+）【点评】本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题16（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a26，a3+a627，设Tn，若对于一切正整数n，总有Tnt成立，则实数t的取值范围是）【分析】设公差为d，由题意得：，联立解得a1，d可得anSn可得Tn，利用单调性即可得出【解答】解：设公差为d，由题意得：，联立解得a13，d3an3+3（n1）3nSnTn，Tn+1Tn，当n3时，TnTn+1，且T11T2T3Tn的最大值为若对于一切正整数n，总有Tnt成立，则实数t的取值范围是

18、故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共70分）17（10分）已知函数f（x）（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）利用二倍角和辅助角化简f（x），结合三角函数的图象及性质可得最小正周期（2）x上，求解内层函数的范围，结合三角函数的图象及性质可得最大值和最小值【解答】解：，（1）函数的最小正周期T（2），即时，即时，f（x）min0故得f（x）在区间上的最大值为，最小值为0【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数

19、公式将函数进行化简是解决本题的关键18（12分）（1）已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a223，S510，求a9（2）已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，求xyz的值【分析】（1）将a2，S5用a1和d表示出来，解方程得到a1和d，再根据等差数列的通项公式求出a9即可（2）根据等比数列的性质xzy2（1）（3）3，又奇数项系数相同，所以y，代入即可【解答】（1）设数列an的公差为d，由题设得，解得，因此a9a1+8d20（2）1，x，y，z，3成等比数列，y2xz（1）（3）3，且x2y0，即y0，y，xz3，xyz3【点评】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公

20、式，等比数列的性质，属于基础题19（12分）（1）已知非零向量，满足|4|，且（2+），求与的夹角（2）设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，求的值【分析】（1）根据平面向量的垂直关系与数量积运算，求向量、的夹角的大小；（2）根据平面向量的线性运算与数量积的定义，计算即可【解答】解：（1）因为（2+），所以（2+）0，得到2|2，则cos ，又0，所以；（2）3，+，+，（4+3）（43）（16292）（1662942）9【点评】本题考查了平面向量的垂直关系与数量积运算问题，也考查了平面向量的线性运算应用问题，是基础题20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为

21、a，b，c，且满足（2ab）cosCccosB0（）求角C的值；（）若三边a，b，c满足a+b13，c7，求ABC的面积【分析】（）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC，可得角C的大小；（）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解【解答】解：（）在ABC中，ccosB（2ab）cosC，由正弦定理，可得sinCcosB（2sinAsinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC2sinAcosC，所以sin（B+C）2sinAcosC，ABC中，sin（B+C）sin（A）sinA0，sinA

22、2sinAcosC，即sinA（12cosC）0，可得cosC又C是三角形的内角，C（）C，a+b13，c7，由余弦定理可得：72a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab1323ab，解得：ab40，SABCabsinC4010【点评】本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题21（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33（1）求an；（2）设bn，数列bn的前n项和记为Tn，求Tn【分析】（1）由题意联立方程组解得首项及公差即得；（2）利用裂项相消法求和即可得出结论【解答】解：（1）

23、设数列an的公差为d，由题得，（3分）解得a13，d2，（5分）ana1+（n1）d2n+1； （6分）（2）由（1）得，Snna1+n（n+2），（8分）bn（），（10分）Tnb1+b2+bn（1）+（）+（）+（）（1+）+（12分）【点评】本题考查等差数列的性质、数列的基本运算及利用裂项相消法求数列和的知识，考查学生的运算能力及方程思想的运用能力，属中档题22（12分）若数列an的前n项和Sn2an2（1）求数列an的通项公式；（2）若bnanlogan，Snb1+b2+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+10恒成立，试求实数m的取值范围【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列

24、的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得bn2nlog2nn2n，由数列的错位相减法求和，可得Sn，再由不等式恒成立思想和不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）由Sn2an2，得当n2时，Sn12an12，两式相减，得an2an2an1，当n2时，an2an1，又n1时，S1a12a12，a12，则an是首项为2，公比为2的等比数列，an2n（2）bn2nlog2nn2n，Sn12+222+323+n2n，2Sn122+223+（n1）2n+n2n+1，得Sn2+22+23+2nn2n+1n2n+12n+1n2n+12由Sn+（n+m）an+10，得2n+1n2n+12+n2n+1+m2n+10对任意正整数n恒成立，m2n+122n+1，即m1对任意正整数n恒成立11，m1，即m的取值范围是（，1【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题