1、第1讲 函数及其应用,近五年高考试题统计与命题预测,1.(2019全国,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( ) A.a20=1, 又0c=0.20.30.201, 所以acb.故选B. 答案:B,答案:B,3.(2018全国,理11)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 解析:f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)
2、=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. 答案:C,4.(2019全国,理14)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= . 解析:ln 2(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数, f(-ln 2)=-8. 当x0时,f(x)=-eax, f(-ln 2)=-e-aln 2=-8, e-aln 2=8,-aln 2=ln 8, -a=3,a
3、=-3. 答案:-3,一、函数的性质及应用 1.单调性 单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.,2.奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2)在公共定义域内: 两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; 两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数; 一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. (4)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|). (
4、5)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.,3.抽象函数的对称性和周期性 (1)对于函数y=f(x)(xR),若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是 (2)若已知定义域在R上的函数的对称轴、对称中心,如何确定函数的周期?可类比“三角函数的图象”得: 若y=f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(ab),则y=f(x)是周期函数,且周期为T=2|a-b|; 若y=f(x)图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab),则y=f(x)是周期函数,且周期为T=2|a-b|; 如果函数y=f(x)
5、的图象有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(ab),则函数y=f(x)是周期函数,且周期为T=4|a-b|. 注意:这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.,(3)若已知类似函数周期定义式的恒等式,如何确定函数的周期?由周期函数的定义,采用迭代法可得结论: 函数f(x)满足f(a+x)=-f(x),则f(x)是周期为2a的函数;,二、基本初等函数及图象性质 1.指数式与对数式的七个运算公式,2.指数函数与对数函数的图象和性质,注:基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a1和01时,两函数在定义域内都为增
6、函数;当00和0两种情况的不同.,三、函数与方程及函数模型 1.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. 2.函数模型的构建流程,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,函数的性质及应用 A.1 B.2 C.22 018 D.32 018 (2)(2018河南洛阳第一次统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”: (a)axR,都有f(-x)+f(x)=0; 以上四个函数中,“优美函数”的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)(2019江西
7、上饶模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且x0时恒有f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=ex-1,则f(-2 017)+f(2 018)= .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)由条件(a),得f(x)是奇函数,由条件(b),得f(x)是R上的单调减函数. 对于,f(x)=sin x在R上不单调,故不是“优美函数”;对于,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”;对于,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”.故选B.,考点1,考点2,
8、考点3,考点4,考点5,(3)因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于原点对称, 又定义域为R,所以函数y=f(x)是奇函数,因为x0时恒有f(x+2)=f(x), 所以f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+f(0)=-f(1)+f(0)=-(e1-1)+(e0-1)=1-e. 答案:(1)A (2)B (3)1-e,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练1 (1)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,bR),f(lg(log210)=5
9、,则f(lg(lg 2)等于( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 (2)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0恒成立,则x的取值范围为 .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,由f(lg(log210)=5,得alg(lg 2)3+bsin(lg(lg 2)=4-5=-1,则f(lg(lg 2)=a(lg(lg 2)3+bsin(lg(lg 2)+4=-1+4=3. (2)易知f(x)为增函数. 又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)0知, f(mx-2)f(-x). mx-2-x,即mx+x-20, 令g(m)=mx+x-2,由m-2,2
10、知g(m)0恒成立,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,函数的图象及应用,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案:(1)D (2)B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练2,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案:(1)C (2)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,基本初等函数的图象和性质 例3(1)(2019全国,理6)若ab,则( ) A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b| (2)(20
11、18全国,理12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则 ( ) A.a+bab0 B.aba+b0 C.a+b0ab D.ab0a+b,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析:(1)取a=2,b=1,满足ab.但ln(a-b)=0,排除A;3a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|0,b=log20.30,ab0. 答案:(1)C (2)B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练3 A. B.+0 C.2,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案
12、:(1)D (2)0,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,函数的零点问题 例4(1)(2019河南洛阳第一次统考)已知函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)=f(x-1)(xR),且当0x1时,f(x)=2x-1,则方程|cos x|-f(x)=0在-1,3上的所有根的和为( ) A.8 B.9 C.10 D.11,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析:(1)方程|cos x|-f(x)=0在-1,3上的所有根的和即y=|cos x|与y=f(x)在-1,3上的图象交点的横坐标的和.由f(1-x)=f(1+x)得f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(1-x)=f(x-1)得f
13、(x)的图象关于y轴对称,由f(1+x)=f(x-1)得f(x)的一个周期为2,而当0x1时,f(x)=2x-1,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=|cos x|在-1,3上的大致图象,如图所示,易知两图象在-1,3上共有11个交点,又y=f(x),y=|cos x|的图象都关于直线x=1对称,故这11个交点也关于直线x=1对称,故所有根的和为11.故选D.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,
14、考点4,考点5,(2)解不等式:x2-1-(4+x)1,得x-2或x3, 函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同 的交点转化为函数y=f(x)的图象和直线 y=-k恰有三个不同的交点. 如图,所以-1-k2,故-2k1.故选D. 答案:(1)A (2)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,函数应用建模 例5某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定对这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克,据调查,当16x24时,这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系:p=2(x+4t-14)(x16,t0),q=24+8ln (16x24).当p=q时的市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克20元,政府补贴至少为每千克多少元?,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,
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