1、7.4 压轴大题2 直线与圆锥曲线,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,-8-,一、直线与圆 1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0. 2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.,-9-,4.圆的切线方程常用结论
2、(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2. 5.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:内含:0条;内切:1条;相交:2条;外切:3条;外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.,-10-,二、圆锥曲线 1.椭圆 2.双曲线 巧
3、设双曲线方程,-11-,3.抛物线 得结论:y1y2=-p2. (2)如下图,直线AB过焦点F, 2AMF+MAB+2BNF+NBA=360, 又MAB+NBA=180, AMF+BNF=90, MFN=90. 得结论:MFN=90点F在以MN为直径的圆上.,-12-,-13-,4.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,-14-
4、,-15-,-16-,6.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.,-17-,(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和另两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点
5、总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和另两条与渐近线平行的直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.,-18-,三、圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题 1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.,-19-,2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法 (1)两类最值问题:涉及
6、距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法:几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决.,-20-,3.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 解决证明问题时,主要根据直线、
7、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的证明方法有: (3)证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.,-21-,四、圆锥曲线中的定点、定值、存在探索性问题 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简
8、即可得出定值; (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得; (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,-22-,3.解决存在探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.,7.4.1 直线与圆及圆锥曲线,-24-,考向一,考向二,考向三,求轨
9、迹方程 例1(2019全国卷2,理21节选)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,并说明C是什么曲线; (2)略.,-25-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程. 2.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程.,-26-,考向一,考向二,考向三,-27-,考向一,考向二,考向三,例2(2019西南名校
10、联盟重庆第八中学高三5月月考六)设抛物线C1的方程为x2=4y,点M(x0,y0)(x00)在抛物线C2:x2=-y上,过M作抛物线C1的切线,切点分别为A,B,圆N是以线段AB为直径的圆. (1)若点M的坐标为(2,-4),求此时圆N的半径长; (2)当M在x2=-y上运动时,求圆心N的轨迹方程.,-28-,考向一,考向二,考向三,-29-,考向一,考向二,考向三,解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把Q的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.,-30-,考向一,考向二,考
11、向三,对点训练2(2019福建龙岩高三5月月考节选(1)双曲线: 的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l垂直的实轴,且交于不同的两点M,N,直线A1N与直线A2M的交点为P. (1)求点P的轨迹C的方程. (2)略.,-31-,考向一,考向二,考向三,-32-,考向一,考向二,考向三,直线与圆的综合 例3设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,-33-,考向一,考向二,考向三,-34-,考向一,考向二,考向三,解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面
12、几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-35-,考向一,考向二,考向三,对点训练3 (2019江苏高三第二学期联合调研测试)在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y2=4交于点A,B,与圆M:(x-2)2+(y-1)2=1交于点C,D. (1)若|AB|= ,求CD的长; (2)若CD中点为E,求ABE面积的取值范围.,-36-,考向一,考向二,考向三,-37-,考向一,考向二,考向三,-38-,考向一,考向二,考向三,-39-,考向一,考向二,考向三,直线与圆锥曲线的综合
13、(1)求椭圆的方程; (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.,-40-,考向一,考向二,考向三,-41-,考向一,考向二,考向三,解题心得解答本题(2)的关键是设出直线PB的斜率,然后将直线PB的方程与椭圆方程联立,得出点P的坐标,再得出点M,N的坐标,利用两直线垂直的条件得关于k的方程,解方程即得.,-42-,考向一,考向二,考向三,对点训练4 (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,-43-,考向一,考向二,考向三,-44-,考向一,考向二,考向三,-45-,考向一,考向二,考向三,
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