1、5.3 热点小专题二 球与多面体的内切、外接,-2-,一、考情分析 近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题为高频考点,主要考查球与几何体的切接问题,在高考中主要的题型是选择题或者填空题,基本上都是中等难度的试题.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,教学中要注重对学生直观想象,数学运算和数学建模等核心的培养.,-3-,二、必备知识整合 1.球体的体积与表面积:V球= R3;S球面=4R2. 2.球与多面体的接、切 (1)定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球. (2)定义2:若一个多面体的各面都与一个
2、球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球. (3)棱切:球与一个几何体各条棱相切. 3.球与正方体的内切和外接 (1)当球与正方体内切时,球的直径长等于正方体的棱长; (2)当球与正方体外接时,球的直径长等于正方体的体对角线长. 4.当球与长方体外接时,球的直径长等于长方体的体对角线长.,-4-,热点一,热点二,热点拓展,球与棱柱的外接问题 例1一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积为 .,答案,解析,-5-,热点一,热点二,热点拓展,解题心得本题运用公式R2=r2
3、+d2求球的半径,该公式是求球的半径的常用公式.,-6-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练1设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ),答案,解析,-7-,热点一,热点二,热点拓展,球与棱锥的外接问题(多维探究) 方法一 补形法求球的半径 例2(1)(2019全国卷1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为( ) (2)(2019福建漳州质检二,理15)已知正四面体A-BCD的外接球的体积为8 ,则这个四面体的表面积为 .,-8-
4、,热点一,热点二,热点拓展,-9-,热点一,热点二,热点拓展,-10-,热点一,热点二,热点拓展,(2)将正四面体ABCD放在一个正方体内,设正方体的棱长为a,如下图所示,-11-,热点一,热点二,热点拓展,解题心得一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有,-12-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练2(1)(2019山东德州一模,理8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( ),-13-,热点一,热点二,热点拓展,(2)(2019山
5、东实验等四校联考,理6)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是( ),-14-,热点一,热点二,热点拓展,答案(1)C (2)B,-15-,热点一,热点二,热点拓展,方法二 体积法求球的半径 例3正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少?,解 如图所示,设点O是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.,-16-,热点一,热点二,热点拓展,解题心得1.正四面体的内切球的半径:根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内
6、切球半径. 2.正四面体外接球的半径:外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离都相等,所以计算出内切球半径后再将分解出来的小的正三棱锥的棱长计算出来即可. 3.正四面体内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.,-17-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练3 (2019山师附中考前模拟,理14)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60,三棱锥的内切球的表面积为 .,答案,解析,-18-,热点一,热点二,热点拓展,方法三 寻求轴截面圆求球半径 例4正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ,点S,A,B,C,D都在同一球面上,则
7、此球的体积为 .,答案,解析,-19-,热点一,热点二,热点拓展,解题心得根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.,-20-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练4(2019四川宜宾二模,理9)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为2的球面上,AB=BC=CA=2 ,PA平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积为( ),答案,解析,-21-,热点
8、一,热点二,热点拓展,方法四 确定球心位置法 例5(1)(2019陕西咸阳一模,理10)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=90,AB平面BCD,则球O的表面积为( ) A.6 B.5 C.4 D.3,(2)(2019湖南六校联考,文16)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于 .,-22-,热点一,热点二,热点拓展,解析 (1)由于AB平面BCD,故ABBD,ABCD,而CDBC,故CD平面ABC,所以CDAC,所以三角形ABD和三角形ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有O
9、A=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径.AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面积为,-23-,热点一,热点二,热点拓展,(2)由该四棱锥的三视图知,该四棱锥的直观图如图. 因为SAB是一个锐角三角形,其外接圆的 圆心在三角形内,设为O1,矩形ABCD的外接 圆的圆心为其对角线的交点O2,设四棱锥外 接球的球心为O,E为AB的中点,则OO1平 面SAB,OO2平面ABCD,则OB为球的半径 R.设r1为SAB外接圆的半径,r2为矩形ABCD外接圆的半径,L=AB,则r1=O1B,r2=O2B,又平面SAB平面ABCD,-24-,热点一,热点二,热点拓展,解题心得由球的
10、对称性可知,球心与任意一个不过球心的截面圆的圆心的连线垂直该截面圆,经常由此性质来确定球的球心位置.,-25-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练5在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( ),答案,解析,-26-,热点一,热点二,热点拓展,球与其他几何体的内切、外接 例6如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .,答案,解析,-27-,热点一,热点二,热点拓展,例7已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ),答案,解析,-28-,热点一,热点二,热点拓展,对点训练6已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .,答案,解析,
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