1、二、数形结合思想,-2-,数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.,-3-,-4-,应用一 利用数形结合求与方程有关的问题 例1(2019山西太原高三二模,文12)已知函数 A.3 B.4 C.5 D.6,答案,解析,-5-,思维升华 讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形
2、转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.,-6-,对点训练1(2019湖南衡阳八中高三,文9)已知函数f(x)为R上的偶函数,且当x0时,f(x)=|x2-2x|,函数g(x)=f(x)3-(b+1)f(x)2+bf(x),b(0,1),则函数g(x)的零点的个数是( ) A.10 B.11 C.12 D.13,答案,解析,-7-,应用二 利用数形结合思想求参数的范围或解不等式 例2已知函数 若不等式f(x)5-mx恒成立,则实数m的取值范围是 .,答案,解析,-8-,思维升华 在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往
3、需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.,-9-,答案,解析,-10-,应用三 数形结合思想在解析几何中的应用,答案,解析,-11-,思维升华 1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有: 2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.,-12-,对点训练3(2019四川绵阳高三三诊,理11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M、N,在
4、直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得MQN=90,则实数a的取值范围为( ) A.-13,3 B.-3,1 C.-3,13 D.-13,13,答案 A,-13-,解析 过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4. AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8, 所以以线段AB为直径的圆D:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4, 因为在圆C上存在两点M,N,在直线l上存在一点Q,使得MQN=90, 所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于,-14-,方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面: (1)解方程或解不等式; (2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用; (3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等; (4)构造方程或不等式求解问题.,
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