1、 - 1 - 2020 届甘肃省张掖市第二中学高三 9 月月考 数学（理科） 第第 I I 卷（选择题卷（选择题) ) 一、单选题一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1设全集UR，集合 |3, |05,Ax xBxx则集合 U C AB= （ ） A |03xx B |03xx C |03xx D |03xx 2若命题:,1 x pxZ e ，则 p 为（ ） A,1 x xZ e B,1 x xZ e C,1 x xZ e D,1 x xZ e 3已知(3,1)AB ，向量( 4, 3)AC ，则向量BC ( ) A( 7, 4) B(7,4) C( 1, 2) D(1,2) 4已知
2、命题 :p “0,1, x xae ”，命题 :q “ 2 ,40xR xxa ”，若命题“p q ”是真命题， 则实数a的取值范围是（ ） A(4,) B1,4 C(,1 D ,4e 5若tan2， 3 , 2 ，则cos( ) A 5 5 B 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 6在等差数列 n a中，若 34567 45aaaaa，则 9 S （ ） A45 B162 C135 2 D81 7函数 sin ( ) ln(2) x f x x 的图象可能是（ ） A B C D - 2 - 8若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点F到其一条渐近线的距离为 3a
3、则双曲线的离心率为（ ） A 2 B3 C2 D5 9某单位安排甲乙丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天. 甲说：我在 1 日和 3 日都有值班 乙说：我在 8 日和 9 日都有值班 丙说：我们三人各自值班日期之和相等 据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A10 日和 12 日 B2 日和 7 日 C4 日和 5 日 D6 日和 11 日 10已知函数 fx是定义在R上的奇函数， 33 ()() 22 fxf x，且 3 ,0 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，则(2020)f( ) A4 B 2 log 7 C2 D2 11已知函数 ( )(1)eln x f
4、 xxax在 1 ,3 2 上单调递减，则a的取值范围是（ ） A 3 9,e B 3 ,9e C 2 4,e D 2 ,4e 12当 1 0 2 x时, 4log x ax ,则a的取值范围是( ) A 2 0, 2 B 2 ,1 2 C1, 2 D2,2 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题) ) 二、填空题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13直线 1:3 210lxy 与 2:3 210lxy 间的距离为_ 。 14已知对于任意实数x满足sin3cossin()xxAx（其中0A，0,2 )） ，则有序实数对 ( , )A_ 15已知函数 2 ( )ln1f xxx ，若
5、实数, a b满足( )(0)2f af b，则ab_. 16已知函数 2ln 1f xxx f ，则( )f x _. 三、解答题三、解答题（共 70 分） 17 （12 分）已知等差数列 n a 满足 32 3aa ， 24 14aa . （）求 n a的通项公式； （）设 n S是等比数列 n b的前n项和，若 22 ba， 46 ba，求 7 S - 3 - 18 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADCD， / /ABCD，2CDAB. （）求证：平面PAB 平面PAD； （）若 M 是线段 PC 的中点，求 BM 与平面 PDC
6、所成的角的正弦值。 19 （12 分） 近年来， 空气质量成为人们越来越关注的话题， 空气质量指数 （Air Quality Index， 简称AQI） 是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区 7 天的空气质量指数，其中，有 4 天空气质量 为优，有 2 天空气质量为良，有 1 天空气质量为轻度污染.现工作人员从这 7 天中随机抽取 3 天进行某 项研究. （I）求抽取的 3 天中至少有一天空气质量为良的概率； （）用X表示抽取的 3 天中空气质量为优的天数，求随机变量X的分布列和数学期望. 20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段
7、 长2 3. (1) 求圆心P的轨迹方程； (2) 若点P到直线y x 的距离为 2 2 ，求圆 P 的方程. 21 （12 分）已知函数( )lnf xaxx，( )e2 ax g xx，其中aR (1) 当2a 时，求函数 ( )f x的极值； (2) 若存在区间(0,)D ，使得 ( )f x与( )g x在区间D上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围 二选一二选一 - 4 - 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，将椭圆 2 2 1 4 y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来 的一半，得到曲线C以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 (s
8、incos )1 1写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； 2已知点(1,2)M，且直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 23 （10 分） 32f xxx （1）画出 fx的图象，并由图象写出 0f x 的解集； （2）若存在xR使不等式 210f xa成立，求实数a的取值范围 - 5 - 数学（理科）答案 1D 2B 3A 4D 命题p即：lnax，lna1，解得ae；命题q即关于x的方程x 2+4x+a=0 有实根，等价于=164a0， 所以a4.命题“pq”是真命题，命题p真，命题q真，因此实数a的取值范围是e,4； 5B 22 sin tan2 cos si
9、ncos1 5 cos 5 又 3 , 2 cos0 5 cos 5 6D 由等差中项的性质得 345675 545aaaaaa，得 5 9a ， 所以， 19 5 95 99 2 99 981 22 aaa Sa ，故选：D. 7A sin ( )(0)0 ln(2) x f xf x 排除 BD 1 sin sin1 2 ( )( )0 5 ln(2)2 ln( ) 2 x f xf x 排除 C 8C 解：双曲线的一个焦点为(c,0)F，一条渐近线方程为 0bxay ，所以焦点到渐近线的方程为 22 3 bc a ba ，整理得 22 3ba，即 2 2 3 b a 所以 2 2 11
10、32 b e a 9D 由题意，1 至 12 的和为 78，因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和 为 26，根据甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班，可得甲在 1、3、10、12 日 值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日， 10D 因为函数 ( )f x满足 33 ()() 22 fxf x，所以(3)( )f xf x，即函数( )f x是以3为周期的周 期函数，又函数 fx是定义在R上的奇函数，且 3 ,0 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，所以 2
11、 (2020)(1)( 1)log 42fff 故选 D 11A 0)( x a xexf x 在 1 ,3 2 上恒成立，则 x exa 2 在 1 ,3 2 上恒成立， 令 2 ( )exg xx， 2 ( )2e0 x g xxx ，所以( )g x在 1 ,3 2 单调递增， 故 g(x)的最大值为 g(3)= 3 9e. 故 3 9ae. 12故选 B 由题意，当 1 0 2 x时，函数4xy 的图象，如图所示， 若不等式4log x ax 恒成立，则函数logayx的图象恒在函数4xy 的上方， 因为函数logayx的图象与函数4xy 的图象交于 1 ( ,2) 2 点时， - 6
12、 - 此时 2 2 a ，根据对数函数的性质可知函数logayx图象对应的底数a满足 2 1 2 a，. 13 2 13 13 因为直线 1:3 210lxy 与 2:3 210lxy 互相平行 12 2222 1 12 13 13 32 cc d ab . 14(2, ) 3 13 sin3cos2( sincos )2(cossinsincos )2sin() 22333 sin() xxxxxxx Ax 2,. 3 A 152 对任意xR， 2 10xxxx ，函数 yf x的定义域为R， 22 ln1ln1ln10fxf xxxxx ，则函数 yf x为奇函数， 当0x 时，由于函数
13、2 1yxx 为增函数，所以，函数 yf x在0,上为增函数，由于该函数 为奇函数，则函数 yf x在,0上也为增函数，所以，函数 yf x在R上为增函数，由 20f af b，得 22f af bfb ，2ab ，可得出2ab. 162ln xx 对函数 yf x求导得 2 1fxf x ， 121ff ，解得 11 f ， 因此， 2lnf xxx，故答案为：2ln xx. 17(I)32 n an；() 7 254S ，或 7 86S (I)设等差数列 n a的公差为d， 3224 3,14aaaa3d ， 1 2414ad， 解得 1 1a ，3d ， 1 3132 n ann ()设
14、等比数列 n b的公比为q， 221 4babq， 3 461 16babq，联立解得 1 2bq， 1 2bq ， 7 7 221 254 2 1 S ，或 7 7 212 86 12 S . 18 （）见解析； （）见解析 （）证明：因为PD 平面ABCD，所以PDAB 又因为ADCD，/ /ABCD，所以ADAB 又ADPDDI，,AD PD 平面PAD可得AB平面PAD 又AB平面PAB，所以平面PAB 平面PAD - 7 - （）方法 1.建立空间直角坐标系得正弦值是 5 52 方法 2。取 PD 的中点为 N，则 AN/BM,则 5 52 sinAND 19 （I） 5 7 ； （
15、） 12 7 . （）解：设事件A为“抽取的 3 天中至少有一天空气质量为良”， 事件A的对立事件A为“抽取的 3 天空气质量都不为良”，从 7 天中随机抽取 3 天共有 3 7 C种不同的选法， 抽取的3天空气质量都不为良共有 3 5 C种不同的选法， 则 3 5 3 7 5 1 7 C p A C ,所以， 事件A发生的概率为 5 7 . （）解：随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3. 3 43 3 7 0,1,2,3 kk CC P Xkk C ， 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量X的数学期望 11218412
16、 0123 353535357 E X . 20(1) 22 1yx (2) 22 (1)3xy或 22 (1)3xy. (1)设 00 (,)P xy，圆P的半径为r， 由题设可得 22 2yr， 22 3xr，从而 22 23yx，故点P的轨迹方程为 22 1yx. (2)设 00 (,)P xy，由已知得 00 2 22 xy ，即 00 1xy， 又 P 点在双曲线 22 1yx上，所以 00 22 00 1 1 xy yx ， 由 00 22 00 1 1 xy yx ，得 0 0 0 1 x y ，此时，圆P的半径3r ； 由 00 22 00 1 1 yx yx ，得 0 0 0
17、 1 x y ，此时，圆P的半径3r ， 故圆P的方程为： 22 (1)3xy或 22 (1)3xy. 21 （1）极小值1 ln2，无极大值 （2）( , 2)(0,) 解：(1)当2a 时，( )2lnf xxx，定义域为(0,)，则 1 ( )2fx x ， - 8 - 故当 1 0, 2 x 时，( )0 f x，( )f x单调递减；当 1 , 2 x 时，( )0fx ， ( )f x单调递增 所以 ( )f x在 1 2 x 处取得极小值，且 1 1ln2 2 f ，无极大值 (2)由题意知， 1 ( )fxa x ，( )e2 ax g xa 当0a 时，( )0g x ，即(
18、 )g x在 R 上单调递增，而 ( )f x在 1 , a 上单调递增， 故必存在区间(0,)D ，使得 ( )f x与( )g x在区间D上单调递增； 当0a 时， 1 ( )0fx x ，故( )f x在(0,)上单调递减，而( )g x在(0,)上单调递增，故不存在满 足条件的区间D； 当0a 时， 1 ( )0fxa x ，即( )f x在(0,)上单调递减，而( )g x在 12 ,ln aa 上单调递减， 在 12 ln, aa 上单调递增，若存在区间(0,)D ，使得 ( )f x与( )g x在区间D上有相同的单调 性，则有 12 ln0 aa ，解得2a 综上可知，a的取值
19、范围为( , 2)(0,) 22 1将椭圆 2 2 1 4 y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 2 2 2 1 4 : xC y 得到圆 22 1xy的图象，故曲线C的普通方程为 22 1xy； 直线l的极坐标方程为sincos1故直线l的直角坐标方程为1yx，即 1 0xy ； 2直线过点1,2M且倾斜角为 4 ，故直线l的参数方程为： 2 1 2 2 2 2 xt yt (t为参数） 代入方程 22 1xy化为： 2 3 240tt ， 121 2 3 2,4ttt t 根据t的几何意义可得： 12 12 113 4 2tt MAMBt t 23 （1）图象详见解析，解集为| 31xx ； （2）1,2 - 9 - （1） fx的图象如图所示： 由图象可得 0f x 的解集为：| 31xx （2） max3f x，从而只需 max21f xa，即：321a 解得：12a 实数a的取值范围为1,2
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