1、 - 1 - 甘谷一中甘谷一中 20192020 学年度高三级第四次检测考试学年度高三级第四次检测考试 理科数学理科数学 一、一、选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1 )( 21 43 i i Ai 21 Bi2 C.i2 D i 21 2已知全集为R,集合02| 2 xxxA，0| 2 xxxB，则)()(BCA R A, 1)2,( B), 1 (0 ,( C. 1 , 2( D 1 , 1( 3在等差数列 n a中，已知 57 8aa，则该数列前 11 项和 11 s=（ ） A
2、44 B.55 C.143 D176 4函数 | 3 cos)( )( x e xxx xf 的大致图象是（ ） 5.动点A在圆1 22 yx上移动时，它与定点0 , 3B连线的中点的轨迹方程是 （ ） A.023 22 xyx B. 023 22 xyx C. 023 22 yyx D. 023 22 yyx 6设nm,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若nm,/且nm ，则 B若nm,且nm/，则/ C若,/nm且/m，则n D若nm,且nm/，则/ 7 .函数( )2sin(),(0,) 22 f xx 的部分图象如图所示, 则, 的值分别是（ ） A
3、. 2, 6 B. 4, 6 C.2, 3 D.4, 3 8泰山有“五岳之首” “天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路， 天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均 不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： - 2 - 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路； 事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A甲走桃花峪登山线路 B乙走红门盘道徒步线路
4、 C丙走桃花峪登山线路 D甲走天烛峰登山线路 9如图，正方体 1111 DCBAABCD的棱长为)6 , 2 , 1(, 1iEi分别是棱 的中点，则多面体 6543211 EEEEEEB的体积为（ ） A 16 9 B 4 1 C. 8 3 D 3 1 10已知圆0462: 22 yxyxC与直线0:byxl，若直线 l与圆C交于BA,两点，OAOB(90为坐标原点） ，则b的值为（ ） A1 B2 C. 1 D 2 11四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，BCDAB平面，BCD是边长为 3 的等边三角形， 若2AB，则球O的表面积为( ) A.16 B 3 32 C12 D32 12
5、如图 1 四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方 形和等腰梯形，,2,/AFEFAD2, 4EFAD,沿 AD边将四边形ADEF折起，使得平面ADEF平面 ABCD，如图 2，动点M在线段EF上，GN,分别是 BCAB,的中点，设异面直线MN与AG所成的角为，则cos的最大值为 （ ） A 10 30 B 5 10 C. 10 10 D 5 5 第第 II 卷卷 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.) 13若向量( 1,2)xa和向量(1, 2)b垂直，则ab_ 14函数2ln2)( 3 xxxf的图象在1x处的切线方程为 .
6、15已知各项都是正数的等比数列 n a中， 231 2 , 2 1 ,aaa成等差数列，则 87 109 aa aa . 16已知函数Rxxxxf|,3|)( 2 .若方程0| 1|)(xaxf恰有 3 个互异的实数根， 则实数a的取值集合为_ 三、解三、解答题答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）如图，在三棱柱CBAABC中， - 3 - 已知CC平面ABC， 90ACB，3BC，4CCAC. (1) 求证：BACA； (2) 求直线C C
7、与平面CAB 所成角的正弦值. 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知半径长为5的圆C截y轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线 02:yxl的距离为 5 56 （1）求这个圆的方程； （2）求经过1,0P 与圆C相切的直线方程 19. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 如图， 在ABC中，BC边上的中线AD长为 3， 且 10 cos 8 B ， 1 cos 4 ADC （1）求sinBAD的值； （2）求AC边的长 20.（本小题满分（本小题满分12分）分）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且)(22 NnaS nn . （1）求数列 n a的通项 n a. （
8、2）设 nn anc) 1( ，求数列 n c的前 n 项和 n T 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左、右焦点分别为MFF, 21 为椭圆上一动 点，当 21F MF的面积最大时，其内切圆半径为 3 b ，设过点 2 F的直线l被椭圆C截得的线段RS, 当xl 轴时，3RS. （1）求椭圆C的标准方程； - 4 - （2）若点A为椭圆C的左顶点，QP,是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AQAP,的斜率分别为 21,k k，若 4 1 21 kk，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明
9、理由. 22.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知函数m x xx xf3 )ln1)(1( )( ，xmxxgln)()R(m. (1) 求函数)(xg的单调区间与极值. (2) 当0m时，是否存在2 , 1, 21 xx，使得)()( 21 xgxf成立？若存在，求实数m的取值范围，若不 存在，请说明理由. 甘谷一中甘谷一中 20192020 学年度高三级第四学年度高三级第四次检测考试次检测考试 数学理答案数学理答案 一、选择题一、选择题 15 题题 DCAAB 610 题题 BCDCB 1112 题题 AA 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
10、 分，共分，共 20 分分.) 13. 5 14. 02 yx 15. 32 2 16. 9 , 1 三、解答题三、解答题 17.解：（1） 如图， 连接C A ， 因为CC平面ABC，AC平面ABC，BC平面ABC， 所以ACCC， BCCC. 1 分 又4CCAC，所以四边形ACAC为正方形，所以CACA. 因为 90ACB，所以CBAC .又AC平面ACAC，CC平面ACAC，CCCAC，所 以，BC平面ACAC.3 分 因为CA平面ACAC，所以CABC. 又CA平面CB A ，BC平面CB A ，CBCCA，所以CA平面CB A .因为 B A平面 CB A ，所以BACA.5 分
11、（2）解法解法 1:在ABC中， 90ACB，3BC，4AC，所以643 2 1 ABC S. 又CC平面ABC，4CC，所以三棱锥ABCC 的体积8 3 1 1 CCSV ABC 7 分 易知5 22 BCACAB，5 22 BCCCCB，24 22 ACCCCA， 所以3428-2524 2 1 CAB S8 分 - 5 - 设点C到平面CAB 的距离为h，则三棱锥CABC的体积hhSV CAB 3 342 3 1 2 ， 由等体积法可知 21 VV ，则8 3 342 h，解得 17 346 h.设直线C C 与平面CAB 所成的角为，则 34 343 sin CC h ，故直线C C
12、与平面CAB 所成角的正弦值为 34 343 10 分 解法解法 2：(2)由（1）知，CA，CB， C C 两两垂直，以C为坐标原点，以CA，CB，C C 所在的直线分 别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为3BC，4CCAC. 所以）（0 , 0 , 0C，）（0 , 0 , 4A，）（0 , 3 , 0B，）（4 , 0 , 0 C ，6 分 所以）（4 , 0 , 0CC，）（0 , 3 , 4AB，）（4 , 0 , 4CA.7分 设平面CAB 的法向量为）（zyxn,，则 0 0 CAn ABn ，即 044 034 zx yx ， 令4y，3 zx，所以）（3 ,
13、4 , 3n为平面CAB 的一个法向量， 则 34 343 ,cos CCn CCn CCn . 9 分 设直线C C 与平面CAB 所成的角为，则 34 343 ,cossinCCn， 故直线C C 与平面CAB 所成角的正弦值为 34 343 .10 分 18.（1）由题圆心),(baC，半径r=5截y轴弦长为 60,259 2 aa 4a 2 分 由C到直线02:yxl的距离为 5 56 ， , 5 56 5 |24| b d, 1b4 分 所以圆的方程为 25) 1()4( 22 yx 6 分 （2）分情况讨论：当直线存在斜率时，设切线方程为：) 1( xky 由C到直线) 1( xk
14、y的距离5 1 15 2 k k 8 分 5 12 k 切线方程：012512 yx 10 分 当直线过点1,0且斜率不存在时，方程1x 也是所求的切线方程. - 6 - 综上，切线方程为012512 yx和1x 12 分 19.（1）; 8 63 sin, , 8 10 cosBB 4 15 sin, 4 1 cosADCADC ; 4 6 )sin(sinBADCBAD6 分 （2）在ABD中,由正弦定理,得 sinsin ADBD BBAD ,即 3 3 66 84 BD ,解得2BD故2DC , 从而在ADC中,由余弦定理,得 222 2cosACADDCAD DCADC 22 1 3
15、22 3 2 ()16 4 ； AC= 4 .12 分 20.（1）), 2(22, 22 11 NnnaSaS nnnn 1 分 两式相减得 11 22 nnnn aaSS 1 2 nn aa， )2(2 1 Nnn a a n n ，即数列an是等比数列3 分 ), 2(222 1 Nnna nn n ), 1(2 11 NnnaSa n n 5 分 (2) n n nc2) 1( nn n nnT2) 1(2242322 1321 7 分 1432 2) 1(22423222 nn n nnT .8 分 得 1432 2) 1(22224 nn n nT )1( 2) 1( 21 )21
16、 (2 2 n n n10 分 111 22) 1(2 nnn nn.11 分 1 2 n n nT .12 分 21.解： （1）由题意及三角形内切圆的性质可得 3 )22( 2 1 2 2 1b cabc，得 2 1 a c 2 分 将cx 代入1 2 2 2 2 b y a x ，结合 222 cba，得 a b y 2 ，.4 分 - 7 - 所以3 2 2 a b ，由得3, 2ba5 分 故椭圆C的标准方程为1 34 22 yx 6 分 （2）设点QP,的坐标分别为）（ 11,y x，）（ 22,y x. 当直线PQ的斜率不存在时，由题意得），（），（ 2 3 1 2 3 1QP或
17、），（），（ 2 3 1 2 3 1QP， 直线PQ的方程为1x7 分 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为mkxy， 联立得 mkxy yx 1 34 22 ，消去y得0124834 222 mkmxxk）（， 由0)34(48)124)(34(464 222222 mkmkmk，得 22 34mk ) 1.( 34 124 , 34 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx.（8 分） 由, 4 1 )2)(2( 21 21 21 xx yy kk可得0)2)(2(4 2121 xxyy， 得0)2)(2()(4 2121 xxmkxmkx， 整理得)2( , 044
18、)(24() 14( 2 2121 2 mxxkmxxk 由（1）和（2）得02 22 kkmm，解得km2或km.（10 分） 当km2时，直线PQ的方程为kkxy2，过定点)0 , 2(，不合题意；.（11 分） 当km时，直线PQ的方程为kkxy，过定点)0 , 1 (， 综上直线PQ过定点，定点坐标为)0 , 1 (（12 分） 22 解： （1）)0( 1 )(x x mxg， 1 分 当0m时，0 1 )( x mxg恒成立，即函数)(xg的单调增区间为），（0，无单调减区间，所以不 存在极值. 2 分 当0m时，令0 1 )( x mxg，得 m x 1 ,当 m x 1 0时，
19、0)( x g，当 m x 1 时，0)( x g， - 8 - 故函数)(xg的单调增区间为），（ m 1 0，单调减区间为），（ m 1 ，此时函数)(xg在 m x 1 处取得极大值， 极大值为m mm m m gln1 1 ln 1 ) 1 (，无极小值. 3 分 综上， 当0m时， 函数)(xg的单调增区间为），（0， 无单调减区间， 不存在极值. 当0m时， 函数)(xg 的单调增区间为），（ m 1 0，单调减区间为），（ m 1 ，极大值为mln1，无极小值.4 分 （3）当0m时 ， 假 设 存 在2 , 1, 21 xx， 使 得)()( 21 xgxf成 立 ， 则 对2
20、 , 1x， 满 足 m i nm a x )()(xgxf. 5 分 由m x xx xf3 )ln1)(1( )( ）（2 , 1x可得， 22 ln )ln1)(1() 1 1ln1 ( )( x xx x xxx x x xf . 令）（2 , 1ln)(xxxxh，则0 1 1)( x xh，所以)(xh在2 , 1上单调递增，所以1) 1 ()( hxh， 所以0)( x f，所以)(xf在2 , 1上单调递增， 所以mmfxf3 2 )2ln1 ( 3 3 2 )2ln1)(12( )2()( max 7 分 由（1）可知，当1 1 0 m 时，即1m时，函数)(xg在2 , 1
21、上单调递减，所以)(xg的最小值是 2ln2)2(mg. .8 分 当2 1 m ，即 2 1 0 m时，函数)(xg在2 , 1上单调递增， 所以)(xg的最小值是mg) 1 (. 9 分 当2 1 1 m 时，即1 2 1 m时，函数)(xg在 m 1 , 1上单调递增，在 2 , 1 m 上单调递减.又 mmmgg2ln22ln) 1 ()2(，所以当2ln 2 1 m时，)(xg在2 , 1上的最小值是mg) 1 (. 当12ln m时，)(xg在2 , 1上的最小值是mg22ln)2(.10 分 所以当2ln0 m时，)(xg在2 , 1上的最小值是mg) 1 (，故mm 3 2 )2ln1 ( 3 ， 解得m 4 )2ln1 ( 3 ,所以02ln m. 11 分 当m2ln时，函数)(xg在2 , 1上的最小值是mg22ln)2(，故mm22ln3 2 )2ln1 ( 3 ， 解得m 2 2ln3 ，所以 2 2ln3 2ln m.故实数m的取值范围是），（ 2 2ln3 0 .12 分
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