1、 - 1 - 永春一中永春一中 20202020 届高三届高三( (上上) )期初考期初考 数学数学( (理理) )试卷试卷（2019.8） 考试时间：120 分钟 总分：150 分 参考数据公式：独立性检验临界值表 2 0 ()P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 独立性检验随机变量 2 K的值的计算公式： 2 2 n adbc K abcdacbd 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 12 个小题个
2、小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 ） 1设集合 2 log (1)0Mxx，集合 2Nx x ，则= R NC M A2x x B22xx C23xx D22xx 2复数 2 1 i z i 的共轭复数是 A1i B1 i Ci 2 1 2 1 Di 2 1 2 1 3某小区有 1000 户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N，则用电量在 320 度 以上的户数估计约为 【参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()68.26%P， (22 )95
3、.44%P，(33 )99.74%P】 A17 B23 C34 D46 4以下判断正确的是 A函数( )yf x为 R 上可导函数，则 0 ()0fx是 0 x为函数( )f x极值点的充要条件 B命题“存在 2 000 ,10xR xx ”的否定是“任意 2 ,10xR xx ” C命题“在锐角ABC中，有sincosAB”为真命题 D “0b ”是“函数 2 ( )f xaxbxc是偶函数”的充分不必要条件 5函数( )2sin()(0,) 22 f xx 的部分图象如图所示， 11 12 5 12 2 -2 O - 2 - 则, 的值分别是 A2, 3 B2, 6 C4, 6 D4, 3
4、 6在 5 ()xa(其中0a )的展开式中， 2 x的系数与 3 x的系数 相同，则a的值为 A2 B1 C1 D2 7两个等差数列的前n项和之比为 510 21 n n ， 则它们的第 7 项之比为 A2 B3 C 45 13 D 70 27 8阅读如右所示的程序框图，若运行相应的程序， 则输出的S的值是 A39 B21 C 81 D102 9某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名 学生某次考试成绩（百分制）如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学 成绩 95
5、75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理 成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86 若数学成绩 90 分（含 90 分）以上为优秀，物理成绩 85（含 85 分）以上为优秀。有多少 把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系 A99.5% B99.9% C97.5% D95% 10己知抛物线方程为 2=2 ypx(0p)，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，FA 与x轴正方向的夹角为 60 ，若OAF的面积为3，则p的值为 A
6、2 或2 3 B2 3 C2 D2 或2 11函数 1ln 1ln x y x 的图像大致为 开始 0, 1Sn 3nSSn 4?n 1 nn 输出 S 结束 是 否 - 3 - 12设函数 (1), ( ) ln()(1). x a x f x xa x e 其中1a 。若( )f x在R上是增函数，则实数a的取值范围是 A1,)e B(1,)e C(1,)e D1,)e 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13已知向量b为单位向量，向量(1,1)a ，且|2 |6ab，则向量, a b的夹角为 14若点( , )P
7、 x y在不等式组 20, 20, 1 xy xy y 所表示的平面区域内，则原点O与点P距离的取值范 围是 15在一次调查中，甲、乙、 丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量和与 乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大 于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 16已知 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，若在双曲线的右支上存在 一点M，使得0)( 22 MFOFOM (其中O为坐标原点)，且 12 3MFMF ，则双曲线 离心率为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
8、6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） （一（一）必做题）必做题 17 （本小题满分 12 分） 设公差不为零的等差数列 n a的前5项的和为55，且 2674 ,9aaa a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 4 (6)(4) n nn b aa ，求证：数列 n b的前n项和 1 2 n S - 4 - 18 （本小题满分 12 分） 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城 市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响据调查统计，通过这两条公路 从
9、城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下表： 所用的时间(天数) 10 11 12 13 通过公路l的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车 A 只能在约定日期（某月某日）的前 11 天出发，汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发（将频率视为概率） （）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车 A 和汽车 B 应 如何选择各自的路径； （）若通过公路 l、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元（其他费用忽略 不计） ，此项费用由生产商承担如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次 性支
10、付给生产商 40 万元， 若在约定日期前送到； 每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万元； 若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商 2 万元如果汽车 A，B 按（） 中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大 19 （本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 中，ABC = 60 ，AC 与 BD 相交于点 O， AE平面 ABCD，CFAE，AB = AE = 2 （）求证：BD平面 ACFE； （）当直线 FO 与平面 BED 所成角的为 45 时，求异面直线 OF 与 BE 所成的角的正弦值大小 20 （本小题满分 12 分） A B C F D E
11、O - 5 - 已知椭圆 22 :1 32 xy E的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于,A B的任意一点. （）求直线PA与PB的斜率之积； （）过点 3 (,0) 5 Q 作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点 证明：以MN为直径的圆恒过点A 21 （本小题满分 12 分） 设a为实数，函数 2 1 1 x f xx ea x （1）当1a 时，求 fx在 3 ,2 4 上的最大值； （2）设函数 1 1, x g xf xa xe 当 g x有两个极值点 1212 ,x xxx时，总有 211 x g xfx，求实数的值（ fx为 fx的导函数） （二）（二）选做题选做题：请考
12、生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l： 2cos 3sin xt yt （t为参数）与曲线 2cos : sin x C y （为参数）相交于不同的两点AB， （1）若 3 ，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极 坐标方程； （2）若直线的斜率为 5 4 ，点(23)P,，求| |PAPB的值 - 6 - 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 32f
13、 xaxx （1）若2a ，解不等式( )3f x ； （2）若存在实数a，使得不等式( )12|2|f xax 成立，求实数a的取值范围 - 7 - 永春一中永春一中 20202020 届高三届高三( (上上) )期初考期初考 数学数学( (理科理科) )参考答案参考答案（2019.8） 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C A C B D A C C D 二、填空题二、填空题 13 2 3 14 2 , 1 15甲丁乙丙 16 31 三、解答题三、解答题 17 （1）设等差数列的的首项为 1 a，公差为d， 则 1 1 2
14、1111 5 4 555 7 2 2 (56 )()(39) ad a d adadadad 或 1 11 0 a d （舍去） 故数列 n a的通项公式为72(1) n an即25 n an. 5 分 （2）由（1）25 n an， 得 11111 () (6)(4)(21)(21)2 2121 n nn b aannnn .7 分 那么 12 111111 (1)()() 23352121 nn Sbbb nn 111 (1) 2212n . 12 分 18解： （）频率分布表如下： 所有的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路 1 的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路
15、 2 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设 12 ,A A分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1,2将货物运往城市乙； 12 ,B B分 别表示汽车B在约定日期前 12 天出发选择公路 1,2 将货物运往城市乙； 1 ()0.20.40.6P A ； 2 ()0.10.40.5P A； 8 . 02 . 04 . 02 . 0)( 1 BP； 2 ()0.10.40.40.9P B； 所以汽车A选择公路 1，汽车B选择公路 2。 - 8 - （）设X表示汽车A选择公路 1 时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值 有 42,40,38,36，则X的分布列如下： X 42 4
16、0 38 36 P 0.2 0.4 0.2 0.2 420.2400.438 0.2360.239.2EX 汽车A选择公路 1 的毛利润是39.23.236（万元） 设Y表示汽车B选择公路 2 时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有 42,40,38,36，则X的分布列如下： X 44 42 40 38 P 0.1 0.4 0.4 0.1 440.1420.4400.438 0.141EX 汽车B选择公路 2 的毛利润是41 1.639.4（万元） 36.039.4 汽车B为生产商获得的毛利更大。 19解（）证明：四边形 ABCD 是菱形， BDAC -2 分 AE平面 ABCD,B
17、D 平面 ABCD BDAE -2 分 AAEAC, BD 平面 ACFE -5 分 （）解：以 O 为原点，,xyzOA OB CF分别为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系xyzO， 则(0, 3,0)B，(0,3,0)D，(1,0,2)E，( 1,0, )(0)Fa a，), 0 , 1(aOF -6 分 设平面EBD的法向量为n( , , )x y z， 则有 0 0 OEn OBn ，即 30 20 y xz 令1z ，则n( 2,0,1) -8 分 由题意得 2 2 51 2 ,cos45sin 2 0 a a nOF nOF nOF ，解得3a 或 1 3 - 9 -
18、由0a ，得3a -10 分 ( 1,0,3),(1,3,2), 1 65 cos, 410 8 OFBE OF BE 所求异面直线 OF 与 BE 所成的角正弦值为 11 4 -12 分 20解： （）(3,0), ( 3,0)AB设点( , )P x y(0)y 则有 22 1 32 xy ，即 2 22 2 2(1)(3). 33 x yx 2 2 333 PAPB yyy kk xxx 2 2 2 (3) 2 3 . 33 x x 4 分 （）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，MN与x轴不重合，设直线 3 :() 5 MN lxtytR. 由 22 3 , 5 23
19、60 xty xy 得 22 4 3144 (23)0. 525 tyty 由题意可知0 成立，且 12 2 12 2 4 3 5 23. 144 25 23 t yy t y y t （*） 11221212 4 34 3 (3,)(3,)()() 55 AM ANxyxytytyy y 2 1212 4 348 (1)(). 525 ty yt yy 将（*）代入上式，化简得 22 2 22 14414448 48482348 252525 0. 2325252325 tt t AM AN tt AMAN，即以MN为直径的圆恒过点A 12 分 - 10 - 21.解（1）当1a 时， 2
20、1 1 x f xx ex 则 21 21 1 2 21 x x x xxe fxxxe e ， 令 21 2 x h xxxe ，则 1 22 x h xxe 显然 h x在区间 3 ,2 4 内是减函数，又 4 311 0 42 h e ， 在区间 3 ,2 4 内，总有 0hx h x在区间 3 ,2 4 内是减函数， 又 10h 当 3 ,1 4 x 时， 0h x ， 0fx，此时 fx单调递增； 当1,2x时， 0h x ， 0fx，此时 fx单调递减； fx在区间 3 ,2 4 内的极大值也即最大值是 11f （2）由题意，知 21 x g xxa e ，则 2121 22 xx
21、 g xxxa exxa e 根据题意，方程 2 20xxa有两个不同的实根 1212 ,x xxx 440a ，即1a ，且 12 2xx 12121 1,2xxxxx且，由 211 x g xfx，其中 21 2 x fxxxea ， 得 11 11222 111111 222 xx xxa exxexx 2 11 20xxa 所以上式化为 11 1122 111111 2222 xx xxexxexx 1 20x，所以不等式可化为 11 11 1 210 xx xee ，对任意的 1 ,1x 恒成立 当 1 0x ， 11 11 1 210 xx xee 不等式恒成立，R； 当 1 0,
22、1x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立， 1 1 1 1 2 1 x x e e - 11 - 令函数 1 11 1 1 11 22 2 11 x xx e k x ee 显然 1 k x是R内的减函数，当0,1x， 22 0 11 ee k xk ee 1 ,0x 时， 11 11 210 xx ee 恒成立，即 1 1 1 1 2 1 x x e e 由，当,0x ， 2 0 1 e k xk e ，即 2 1 e e 综上所述， 2 1 e e . 22. 解： （1）当 3 时，直线l的普通方程为：330xy sin,cosyx 直线l的极坐标方程为：3 cossin3，即
23、2 cos()3 6 （2）曲线 2cos : sin x C y 普通方程是： 2 2 1 4 x y， 将 2cos 3sin xt yt 代入曲线C的普通方程，整理得： 222 (cos4sin)(8 3sin4cos )120tt 因为 222 12 22222 1212(cossin)12(1tan) | | | cos4sincos4sin14tan PAPBt t 而直线的斜率为 5 4 ，则 5 tan 4 代入上式求得 5 12(1) 16 | |7 5 14 16 PAPB 23 （1）解：不等式( )3f x 化为2323xx，则 - 12 - 2 2323 x xx ，或 2 2 3 2323 x xx ，或 2 3 3223 x xx ，3 分 解得 37 42 x 所以不等式( )3f x 的解集为 37 | 42 xx 5 分 （2）不等式( )12|2|f xax 等价于33 21axxa ， 即3361xaxa ， 由三角不等式知336|(3)(36)| |6|xaxxaxa8 分 若存在实数a，使得不等式( )12|2|f xax 成立，则|6| 1aa ， 解得 5 2 a ， 所以实数a的取值范围是 5 ,) 2 10 分
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