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    2017-2018学年广西钦州市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

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    2017-2018学年广西钦州市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

    1、2017-2018学年广西钦州市高一(下)期末数学试卷一、选择题(共7小题,每小题5分,满分35分)1(5分)设集合Ax|x2x20,集合Bx|1x4,则AB()Ax|1x2Bx|1x4Cx|1x1Dx|2x42(5分)等差数列an中,a32,a118,则a7()A0B1C2D33(5分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和AA1的中点,则直线EF与直线AC所成的角为()A30B45C60D904(5分)下列命题中正确的是()A若直线m平面,直线n,则mnB若直线m平面,直线n,则mnC若平面平面,直线m,直线n,则mnD若平面平面,直线m,则m5(5分)若关于x

    2、的不等式的解集为x|0x2,则实数m的值为()A1B2C3D36(5分)直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2,则直线的倾斜角为()AB或CD或7(5分)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b1,c,C60,则角A等于()A30B60C90D120示范高中考生做8(5分)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,如图所示网格中的每个小正方形的边长为1,已知图为某“堑堵”的三视图,则该“堑堵”的体积为()A2B4C6D8非示范高中考生做9如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为()A

    3、BCD10(5分)已知正实数x,y满足2x+y1,则xy的最大值为()ABCD11(5分)矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将三角形ABC折起,得到的四面体ABCD的体积的最大值为()ABCD512(5分)若数列an的前n项和Snan+,则a6()A64B64C32D32示范高中考生做13(5分)若m0,n0,且直线(m+1)x+(n+1)y20与圆x2+y22x2y+10相切,则m+n的取值范围是()A2+,+)B2+2,+)C(0,2+D(0,2+2非示范高中考生做14已知直线l:(2m+1)x+(m1)y15m0,m为任意实数,则直线l被圆x2+y29截得的弦的长度的取值范围是()A

    4、0,6B,6C3,6D4,6二、填空题(共3小题,每小题5分,满分13分)15(5分)经过点P(1,2)且与直线x2y20垂直的直线方程是 16(5分)已知实数x,y满足,则zxy+1的最小值为 17(3分)在各项都是正数的等比数列an中,若a6,则+的最小值为 示范高中考生做18(5分)在ABC中,B,BC边上的高等于BC,则cosA 非示范高中考生做19若某圆锥的侧面展开图的圆心角等于120,则母线与底面所成角的余弦值等于 三、解答题(共1小题,满分12分)20(12分)(1)解不等式:2x2+5x20;(2)若关于x的一元二次方程mx2(1m)x+m0没有实数根,求实数m的取值范围示范高

    5、中考生做21(12分)已知公差不为0的等差数列an中,a21,且a2,a3,a6成等比数列(1)求an的通项公式;(2)设bn,数列bn的前n项和为Sn,求Sn非示范高中考生做22已知公差不为0的等差数列an中,a21,且a2,a3,a6成等比数列(1)求an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,求Sn23(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosCcsinA(1)求角C的大小;(2)若c,且ABC的面积S,求a+b的值24(12分)已知圆心为C(1,1)的圆C经过点M(1,2)(1)求圆C的方程;(2)若直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点,且ABC是直

    6、角三角形,求实数m的值25(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且AD2PD2(1)求证:MN平面PCD;(2)求二面角NPAD的余弦值示范高中考生做26(12分)已知数列an满足a11,an+12an+1(1)求a2,a3,a4,并猜想出an的一个通项公式;(2)若+m恒成立,求实数m的取值范围非示范高中考生做27已知数列an满足a11,an+12an+1(1)求a2,a3,a4,并猜想出an的一个通项公式;(2)证明:数列an+1成等比数列,并求出数列an的前n项和Sn2017-2018学年广西钦州市高一(下)期末数学试

    7、卷参考答案与试题解析一、选择题(共7小题,每小题5分,满分35分)1(5分)设集合Ax|x2x20,集合Bx|1x4,则AB()Ax|1x2Bx|1x4Cx|1x1Dx|2x4【分析】解不等式化简集合A,根据并集的定义写出AB【解答】解:集合Ax|x2x20x|1x2,集合Bx|1x4,则ABx|1x4故选:B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2(5分)等差数列an中,a32,a118,则a7()A0B1C2D3【分析】利用等差数列的通项公式直接求解【解答】解:等差数列an中,a32,a118,2a7a3+a112+86,a73故选:D【点评】本题考查等差数列的第7项的求法,考查

    8、等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3(5分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和AA1的中点,则直线EF与直线AC所成的角为()A30B45C60D90【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2,利用向量法能求出直线EF与直线AC所成的角【解答】解:在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和AA1的中点,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2,则E(2,1,0),

    9、F(2,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),(0,1,1),(2,2,0),设直线EF与直线AC所成的角为,则cos,60直线EF与直线AC所成的角为60故选:C【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4(5分)下列命题中正确的是()A若直线m平面,直线n,则mnB若直线m平面,直线n,则mnC若平面平面,直线m,直线n,则mnD若平面平面,直线m,则m【分析】由线面平行的定义得到m与内直线无交点,即可判断A;由线面垂直的定义,即可判断B;由面面平行的定义,两平面内的直线无交点,即可判断C;

    10、由面面垂直的性质定理,即可判断D【解答】解:A若直线m平面,直线n,则由线面平行的定义可知mn或异面,故A错;B若直线m平面,直线n,则由线面垂直的定义得mn,故B正确;C若平面平面,直线m,直线n,则,无公共点,即mn或异面,故C错;D若平面平面,直线m,由面面垂直的性质定理,若m垂直于,的交线,则m,否则m不垂直于,故D错故选:B【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系:平行和垂直,考查线面平行、垂直的性质和面面平行、垂直的性质,熟记这些性质是迅速解题的关键5(5分)若关于x的不等式的解集为x|0x2,则实数m的值为()A1B2C3D3【分析】由一元二次方程与对应不等式关系可知,一元二

    11、次不等式解集边界值,就是所对应一元二次方程两根,然后将根代入方程即可求出m的值【解答】解:不等式的解集为x|0x2,0、2是方程x2+(2m)x0的两个根,将2代入方程得m1m1;故选:A【点评】本题考查一元二次不等式与所对应的二次方程关系,同时转化能力,属于基础题6(5分)直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2,则直线的倾斜角为()AB或CD或【分析】化圆的方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,结合垂径定理求直线ykx+3斜率,进一步求得倾斜角【解答】解:化圆x2+y24x6y+90为标准方程(x2)2+(y3)24,可得圆心坐标为(2,3),半径r2圆心(2,3)到直线kx

    12、y+30的距离d,由直线ykx+3被圆x2+y24x6y+90截得的弦长为2,得,解得k或k可得直线的倾斜角为或故选:B【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用垂径定理求弦长,是中档题7(5分)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b1,c,C60,则角A等于()A30B60C90D120【分析】由已知及正弦定理可求sinB的值,利用大边对大角可求B,结合三角形内角和定理即可计算得解【解答】解:b1,c,C60,由正弦定理可得:sinB,cb,B为锐角,可得B30A180CB90故选:C【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形内角和定理在解三角形中的应用,属

    13、于基础题示范高中考生做8(5分)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,如图所示网格中的每个小正方形的边长为1,已知图为某“堑堵”的三视图,则该“堑堵”的体积为()A2B4C6D8【分析】由三视图得出该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱,结合图中数据求出三棱柱的体积【解答】解:由几何体的三视图可得:该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱,底面面积为:211,高为2,直三棱柱的体积为122故选:A【点评】本题考查了空间几何体三视图以及体积的计算问题,是基础题非示范高中考生做9如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为()

    14、ABCD【分析】由三视图知几何体为圆锥,根据正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,判断圆锥底面圆的半径为1,高为,代入体积公式计算【解答】解:由三视图知几何体为圆锥,正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,圆锥底面圆的半径为1,高为;几何体的体积V12故选:B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量10(5分)已知正实数x,y满足2x+y1,则xy的最大值为()ABCD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解:正实数x,y满足2x+y1,则1,化为:xy,当且仅当2xy时取等号xy的最大值为故选:A【点评】本题考查了基本不等式的性质,考

    15、查了推理能力与计算能力,属于基础题11(5分)矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将三角形ABC折起,得到的四面体ABCD的体积的最大值为()ABCD5【分析】当平面ABC平面ACD时,得到的四面体ABCD的体积取最大值,由此能求出四面体ABCD的体积的最大值【解答】解:矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将三角形ABC折起,当平面ABC平面ACD时,得到的四面体ABCD的体积取最大值,此时点B到平面ACD的距离d,SADC6,四面体ABCD的体积的最大值为:V故选:C【点评】本题考查四面体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想

    16、,是中档题12(5分)若数列an的前n项和Snan+,则a6()A64B64C32D32【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式【解答】解:数列an的前n项和Snan+,则,得:,所以:,当n1时,解得:a11所以数列an是以1为首项,2为公比的等比数列则:2n1所以:故选:C【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用示范高中考生做13(5分)若m0,n0,且直线(m+1)x+(n+1)y20与圆x2+y22x2y+10相切,则m+n的取值范围是()A2+,+)B2+2,+)C(0,2+D(0,2+2【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于

    17、圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后利用基本不等式变形,设m+nx,得到关于x的不等式,求出不等式的解集得到x的范围,即为m+n的范围【解答】解:由圆x2+y22x2y+10,得(x1)2+(y1)21,得到圆心坐标为(1,1),半径r1,直线(m+1)x+(n+1)y20与圆相切,圆心到直线的距离d,整理得:m+n+1mn,设m+nx(x0),则有x+1,即x24x40,解得:x2+2,则m+n的取值范围为2+2,+)故选:B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,基本不等式,以及一元二次不等式的解法,是中档题非示范高中考生做14已知直线l:(2m+1)x

    18、+(m1)y15m0,m为任意实数,则直线l被圆x2+y29截得的弦的长度的取值范围是()A0,6B,6C3,6D4,6【分析】直线l:(2m+1)x+(m1)y15m0恒过A(2,1)点,进而求出弦长的最值,可得答案【解答】解:圆x2+y29的圆心为原点,半径为3,直线l:(2m+1)x+(m1)y15m0可化为:(2x+y5)m+(xy1)0令2x+y5xy10,则x2,y1,即直线l:(2m+1)x+(m1)y15m0恒过A(2,1)点,则OA当直线l过O时,弦长取最大值6,当直线l与OA垂直时,弦长取最小值24,故选:D【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,弦长公式,难度中档二

    19、、填空题(共3小题,每小题5分,满分13分)15(5分)经过点P(1,2)且与直线x2y20垂直的直线方程是2x+y40【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x2y20垂直的直线方程为2x+y+c0,再把点(1,2)代入,即可求出c值,得到所求方程【解答】解:所求直线方程与直线x2y20垂直,设方程为2x+y+c0直线过点(1,2),2+2+c0c4所求直线方程为2x+y40故答案为:2x+y40【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系,以及待定系数法求直线方程,属于常规题16(5分)已知实数x,y满足,则zxy+1的最小值为2【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直

    20、线方程的斜截式,由图得到使目标函数取得最小值的点,求出点的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由实数x,y满足作可行域如图,由zxy+1 可得yxz+1有图形可知,当直线yxz过可行域内的点A(0,3)时,直线在y轴上的截距最大,即z最小zmin03+12故答案为:2【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题17(3分)在各项都是正数的等比数列an中,若a6,则+的最小值为4【分析】先根据等比数列的性质可得a3a9a62,再根据基本不等式即可求出【解答】解:各项都是正数的等比数列an中,若a6,则a3a9a62,则+24,当且仅当2a3a9时取号,故最最小值为4,故

    21、答案为:4【点评】本题考查了等比数列的性质和基本不等式,属于基础题示范高中考生做18(5分)在ABC中,B,BC边上的高等于BC,则cosA【分析】作出图形,令DAC,依题意,可求得cos,sin,利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解:设ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,ADBC于D,令DAC,在ABC中,B,BC边上的高ADhBCa,BDADa,CDa,在RtADC中,cos,故sin,cosAcos(+)coscossinsin故答案为:【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令DAC,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题非示范高中考生做19若某圆锥的侧面展

    22、开图的圆心角等于120,则母线与底面所成角的余弦值等于【分析】先求出侧面展开图的弧长,从而求出底面圆半径,进而求出圆锥的高,由此能求出圆锥体积【解答】解:设母线长为a,圆锥的侧面展开图的圆心角等于120,120,圆锥的底面周长为:,圆锥的底面半径为:r,则2r,可得母线与底面所成角的余弦值等于故答案为:【点评】本题考查圆锥的母线与底面所成角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养三、解答题(共1小题,满分12分)20(12分)(1)解不等式:2x2+5x20;(2)若关于x的一元二次方程mx2(1m)x+m0没有实数根,求实数m的取值范围【分析】(1)根据一元二次不等式的解法

    23、与步骤进行解答即可(2)由题意可得它的判别式(1m)24mm0,且m0,由此求得m的取值范围【解答】(1)解:原不等式可化为2x25x+20;(1分)即(2x1)(x2)0(3分)所以原不等式的解集为x|x2(5分)(2)解:由于关于x的一元二次方程mx2(1m)x+m0没有实数根,故它的判别式(1m)24mm0,且m0,求得m或m1, 故m的范围为(,1)(,+)【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根的存在性与判别式之间的关系,属于中档题示范高中考生做21(12分)已知公差不为0的等差数列an中,a21,且a2,a3,a6成等比数列(1)求an的通项公式;(2)设bn,数

    24、列bn的前n项和为Sn,求Sn【分析】(1)设公差d不为0的等差数列an,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程即可得到所求通项;(2)求得bn(),运用数列的裂项相消求和,化简可得所求和【解答】解:(1)设公差d不为0的等差数列an,a21,且a2,a3,a6成等比数列,可得a1+d1,a32a2a6,即(a1+2d)2(a1+d)(a1+5d),解得a11,d2,所以,数列an的通项公式是an2n3;(2)由(1)知bn(),所以前n项和为Sn(11)+(1)+()+()(1)【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质,考查数列的裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题非

    25、示范高中考生做22已知公差不为0的等差数列an中,a21,且a2,a3,a6成等比数列(1)求an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,求Sn【分析】(1)利用等差数列通项公式和等比数列性质,列出方程组,求出a11,d2,由此能求出an的通项公式(2)利用等差数列前n项和公式能求出数列an的前n项和【解答】解:(1)公差不为0的等差数列an中,a21,且a2,a3,a6成等比数列,解得a11,d2,an的通项公式an1+(n1)22n3(2)数列an的前n项和为Sn,Snn+n22n【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法,考查等比数列、等差数列的性质等基础知识,考查运算求解

    26、能力,考查函数与方程思想,是基础题23(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosCcsinA(1)求角C的大小;(2)若c,且ABC的面积S,求a+b的值【分析】(1)由正弦定理化简已知可得sinAcosCsinCsinA,由于sinA0,可求tanC,结合范围C(0,),可求C的值(2)由三角形面积公式可求ab3,进而由余弦定理可求a+b的值【解答】(本题满分为12分)解:(1)由acosCcsinA及正弦定理,得sinAcosCsinCsinA,(2分)在ABC中,因为sinA0,(3分)所以cosCsinC,即tanC,(4分)而C(0,),(5分)所以C(6

    27、分)(2)由ABC的面积SabsinC,(7分)由(1)得:Sab,(8分)可得:ab3,(9分)由余弦定理,知:c2a2+b22abcosC,(10分)即:7a2+b2ab(a+b)23ab(a+b)29,(11分)所以a+b4(12分)【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于基础题24(12分)已知圆心为C(1,1)的圆C经过点M(1,2)(1)求圆C的方程;(2)若直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点,且ABC是直角三角形,求实数m的值【分析】(1)利用两点之间的距离可得r,可得圆C的方程;(2)因为直线x+y+m0

    28、与圆C相交于A、B两点,所以,两边平方,得(m+2)22即m2+4+20所以:再由ABC是直角三角形,得d即可求解m的值【解答】解:(1)由已知,得所求圆的半径的平方为:r(11)2+(12)21,所以圆的标准方程是:(x1)2+(y1)21;(2)因为直线x+y+m0与圆C相交于A、B两点,所以,两边平方,得(m+2)22,即m2+4+20所以:,再由ABC是直角三角形,得d,整理得,(m+2)21,即m2+4m+30,解得:m1或m3【点评】本题考查直线方程与圆的关系,圆的方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用25(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是

    29、正方形,PD底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且AD2PD2(1)求证:MN平面PCD;(2)求二面角NPAD的余弦值【分析】(1)取PD的中点E,连结EM,EC,证明四边形EMNC是平行四边形,得到ECMN,然后证明MN平面PCD(2)取AD的中点H,连结NH,则NHAD,过H作HFPA,连结FN,说明HNF是二面角NPAD的平面角,在PAD中,转化求解即可【解答】(1)证明:取PD的中点E,连结EM,EC,M是PA的中点,EMAD,且EM,(2分)而NCBC,且ADBC,EMNC,且EMNC,(3分)四边形EMNC是平行四边形,ECMN(4分)EC平面PCD,MN平面PCD,所以

    30、,MN平面PCD(5分)(2)解:取AD的中点H,连结NH,则NHAD,由已知,PD底面ABCD,侧面PAD底面ABCD,NH侧面PAD(7分)过H作HFPA,连结FN,则NHPA,PA平面NHF,FNPA,(8分)所以HNF是二面角NPAD的平面角,在PAD中,(9分)由AD2PD2,得PA,FH,(10分)而NH2,FN,(11分)所以二面角NPAD的平面角的余弦值为:cosHFN(12分)【点评】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判断定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力示范高中考生做26(12分)已知数列an满足a11,an+12an+1(1)求a2,a3,a4,并猜想出

    31、an的一个通项公式;(2)若+m恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)根据a11,an+12an+1代值计算即可得到a2,a3,a4,猜想通项公式;(2)根据数列的递推公式可得数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式和放缩法即可求出m的范围【解答】解:(1)由a11,an+12an+1得a23,a37,a415,由此猜想数列an的一个通项公式为:an2n1(2)、由an+12an+1,得an+1+12(an+1),数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,数列an+1的通项公式为an+12n,+1()n,1)实数m的取值范围是m1【点评】本题考查了数列的递推公

    32、式和通项公式的求法和放缩法,属于中档题非示范高中考生做27已知数列an满足a11,an+12an+1(1)求a2,a3,a4,并猜想出an的一个通项公式;(2)证明:数列an+1成等比数列,并求出数列an的前n项和Sn【分析】(1)a11,an+12an+1可得:a22a1+1,a32a2+1,a42a3+1,进而猜想出an的一个通项公式an(2)由an+12an+1,可得:an+1+12(an+1)即可证明结论,利用求和公式即可得出【解答】(1)解:a11,an+12an+1a22a1+13,a32a2+17,a42a3+115猜想出an的一个通项公式an2n1(2)证明:由an+12an+1,可得:an+1+12(an+1)a1+12,数列an+1成等比数列,首项为2,公比为2通项公式an2n1数列an的前n项和Snn2n+12n【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题


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