1、一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D2（5分）在ABC中，a3，b5，sinA，则sinB（）ABCD13（5分）各项都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，a1成等差数列，则的值为（）ABCD或4（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏5（5分）设各项均为正的
2、等比数列an满足a4a83a7，则log3（a1a2a9）等于（）A38B39C9D76（5分）在等比数列an中，若a3，a9是方程3x211x+90的两根，则a6的值是（）A3B3CD以上答案都不对7（5分）在ABC中，若a2，B60，b，则BC边上的高等于（）ABC3D8（5分）在等差数列an中，a660，a670，且a67|a66|，Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为（）A66B67C132D1339（5分）在ABC中，若sinBsinCcos2，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形10（5分）在等差数列an中，a10，3a85a13，则前n
3、项的和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS2111（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为（）Alog371BC50D5512（5分）an为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6S7S5，则下列结论中不正确的是（）Ad0BS110CS120DS130二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B 14（5分）已知函数f（x），则不等式f（x）2的解集是
4、15（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosBbcosAc，当tan（AB）取最大值时，角B的值为 16（5分）已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且，若，则k 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）解关于x的不等式x2（a+1）x+a0（aR）18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C，a5，ABC的面积为10（1）求b，c的值；（2）求cos（B）的值19（12分）已知an满足a13，an+12an+1，（1）求a2，a3，a4，a5；（2）求证：a
5、n+1是等比数列；并求出an的表达式20（12分）在等比数列an中，a23，a581（1）求an的通项公式；（2）设bn，数列bn的前n项和Sn，求证：Sn221（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c22（12分）已知数列an中，a12，a24，an+1+2an13an（n2）（1）求证：数列an+1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设bnan1，Sn+，若对任意nN*，有Sn2m恒成立，求实数m的取值范围2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（下）期中数学试卷
6、（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【分析】由于ab0，不妨令a2，b1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a2，b1，可得 1，故A不正确可得ab2，b21，abb2，故B不正确可得ab2，a24，aba2，故C不正确故选：D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题2（5分）在ABC中，a3，b5，sinA，则s
7、inB（）ABCD1【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值【解答】解：a3，b5，sinA，由正弦定理得：sinB故选：B【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键3（5分）各项都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，a1成等差数列，则的值为（）ABCD或【分析】设an的公比为q（q0且q1），由已知可解得q，而，代入即可【解答】解：设an的公比为q（q0且q1），由a3a2+a1，得q2q10，解得q，而故选：B【点评】本题考查等比数列和等差数列的定义及性质，属基础题4（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光
8、点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7381，解得a13故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）设各项均为正的等比数列an满足a4a83a7，则log3（a1a2a9）等于（）A38B39C9D7【分析】利用等比数列的通项公式推导出a53，
9、由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2a9）的值【解答】解：a4a8a5a7，a5a73a7，a53，故选：C【点评】本题考查对数式值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质和对数函数运算法则的合理运用6（5分）在等比数列an中，若a3，a9是方程3x211x+90的两根，则a6的值是（）A3B3CD以上答案都不对【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93，再由等比数列的定义和性质可得 a3a93，由此解得 a6 的值【解答】解：等比数列an中，若a3，a9是方程3x211x+90的两根，则由一元二次方程根与系数的关系可得a3a93，a6再由等比数列
10、的定义和性质可得 a3a93，解得 a6，故选：C【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题7（5分）在ABC中，若a2，B60，b，则BC边上的高等于（）ABC3D【分析】首先利用余弦定理求出c，然后求高【解答】解：因为在ABC中，若a2，B60，b，所以cos60，解得c3或c1（舍去）则BC边上的高为csin60；故选：A【点评】本题考查了利用余弦定理求三角形的一边；熟练运用定理是关键8（5分）在等差数列an中，a660，a670，且a67|a66|，Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为（）A66B67C132D133【分析】通过题意易
11、知公差0，利用等差中项的性质即得结论【解答】解：a660，a670，公差da67a660，又a67|a66|，a67+a660，66（a67+a66）0，即S1320，又公差d0，使Sn0的n的最小值为132，故选：C【点评】本题考查等差中项的性质，注意解题方法的积累，属于中档题9（5分）在ABC中，若sinBsinCcos2，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】利用cos2可得，再利用两角和差的余弦可求【解答】解：由题意，即sinBsinC1cosCcosB，亦即cos（CB）1，C，B（0，），CB，故选：A【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用
12、，考查三角函数与解三角形的结合属于基础题10（5分）在等差数列an中，a10，3a85a13，则前n项的和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS21【分析】等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，根据3a85a13，得到首项和公差的关系，写出等差数列的前n项和公式，把首项用公差表示，根据二次函数的最值得到结果【解答】解：等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，a13a8+5d，d即为公差，又3a85a13，a812.5d，a119.5dSnna1+，Sn0.5dn220dn，当n为对称轴时即n20时Sn最大，故选：C【点评】本题是一个最大值的
13、问题，结合二次函数的性质来解题，通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力11（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为（）Alog371BC50D55【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出等比数列的首项和公比，得到等比数列的通项公式，代入bnlog3an求得数列bn的通项，然后由等差数列的前n项和得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a4a178，S339，得，两式作比得：q12，即q3，则a13bnlog3an则数列bn的前10项和
14、55故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题12（5分）an为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6S7S5，则下列结论中不正确的是（）Ad0BS110CS120DS130【分析】由已知条件 知A正确；由S1111a60知B正确；由S120，知C错误；由S1313a70，知D正确，【解答】解：由已知条件即a60，a70，a6+a70，因此d0，A正确；S1111a60，B正确；S120，故C错误；S1313a70，故D正确，故选：C【点评】解答本题要灵活应用等差数列的通项公式、性质、前n项和公式求解二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
15、分请把正确答案填在题中横线上）13（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA，则B【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可【解答】解：2bcosBacosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，sinB0，cosB，0B，B，故答案为：【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题14（5分）已知函数f（x），则不等式f（x）2的解集是（1，1）【分析】根据函数的解析式对x分类讨论，分别由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出对应的解集，最
16、后再求出并集，即可得到不等式f（x）2的解集【解答】解：由题意知，f（x），当x0时，不等式f（x）2为2x2，解得x1，即0x1；当x0时，不等式f（x）2为x2+12，解得1x1，即1x0，综上，不等式的解集是（1，1），故答案为：（1，1）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，分段函数，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想15（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosBbcosAc，当tan（AB）取最大值时，角B的值为【分析】acosBbcosAc，由正弦定理定理可得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B），化为：tanA3tanB0，
17、代入tan（AB），再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：在ABC中，acosBbcosAc，由正弦定理定理可得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B），化为：tanA3tanB0，tan（AB），当且仅当tanB，即B时取等号故答案为：【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且，若，则k【分析】设R为三角形ABC的外接圆的半径，可得+kkR2，即k2cosCsinB+2sinCcosB2sinA，利用已知求得sinA即可【解答】解：设R为三角形ABC的外接圆的半径，O
18、是三角形ABC的外接圆的圆心，由，可得+kkR2，k2cosCsinB+2sinCcosB2sinA，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的运算及解三角形的运算应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）解关于x的不等式x2（a+1）x+a0（aR）【分析】关于x的不等式x2（a+1）x+a0化为（x1）（xa）0，不等式对应方程的实数根为a和1，由此根据a1，a1，a1进行分类讨论，能求出不等式的解集【解答】解：关于x的不等式x2（a+1）x+a0化为（x1）（xa）0，不等式对应方程的实
19、数根为a和1；当a1时，不等式的解集为 （，1a，+）；当a1时，不等式的解集为R，当a1时，不等式的解集为（，a1，+）【点评】本题考查不等式的解法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C，a5，ABC的面积为10（1）求b，c的值；（2）求cos（B）的值【分析】（1）根据三角形面积公式SabsinC，可得b，利用余弦定理可得c的值（2）根据正弦定理求出sinB和cosB，和与差公式打开cos（B）即可求出值【解答】解：（1）ABC的面积为10即SabsinC，C，a5，b8由余弦定
20、理：c2b2+a22bacosC，可得c7（2）由（1）可知b8，C，c7正弦定理：，sinB那么：cosB则cos（B）cosBcos+sinBsin【点评】本题考查了正余弦定理的运用和同角三角函数的计算，属于基础题19（12分）已知an满足a13，an+12an+1，（1）求a2，a3，a4，a5；（2）求证：an+1是等比数列；并求出an的表达式【分析】（1）利用an满足a13，an+12an+1，即可求a2，a3，a4，a5；（2）由an+12an+1，可得，即可得出结论【解答】（1）解：a13，a22a1+17，同理，a315，a431，a563（2）证明：，又a1+140数列an+
21、1是以4为首项，2为公比的等比数列，（nN*）【点评】本题属于容易题，主要考查了递推公式的应用以及等比数列的定义和通项公式的求法20（12分）在等比数列an中，a23，a581（1）求an的通项公式；（2）设bn，数列bn的前n项和Sn，求证：Sn2【分析】（1）设an的公比为q，运用等比数列的通项公式，列方程解得首项和公比，可得所求通项；（2）求得bn（n2），再由数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）设an的公比为q，a23，a581，可得a1q3，a1q481，解得a11，q3，因此，an3n1；（2）证明：因为bn，而bn（n2），前n项和Sn1+1+1
22、+1+122【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C，ABC的面积为2，求c【分析】（）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可（）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可【解答】解：（）证明：由正弦定理得：即，sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA3sinC（2分）sinB+sinA+sin（A+B）3sinCsinB+sinA+sinC3si
23、nC（4分）sinB+sinA2sinCa+b2c（5分）a，c，b成等差数列（6分）（）ab8（8分）c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab4c224（10分）c28得（12分）【点评】本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理，等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知数列an中，a12，a24，an+1+2an13an（n2）（1）求证：数列an+1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设bnan1，Sn+，若对任意nN*，有Sn2m恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）由已知递推式构造方程an+1an2（anan1
24、），根据等比数列的定义证明即可；（2）由（1）得出an+1an2n，再由累加法求出an的通项公式；（3）先将an，bn的通项公式代入，利用裂项相消法求出Sn，根据数列的单调性求出最值，代入不等式求出m的范围即可【解答】解：（1）证明：an+1+2an13an（n2），an+1an2（anan1）（n2），又a2a120，anan10（n2），2（n2）数列an+1an是首项、公比均为2的等比数列（2）解：由an+1an是等比数列，首项为2，得出an+1an2n，故ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1），2+21+22+2n12n，当n1时，a121符合上式，数列an的通项公式为an2n（3）解：an2n，bnan12n1，Sn（）+（）+（），故Sn1，又因为Sn单调递增，所以Sn的最小值为S1，2m成立，由已知，有4m23m1，解得m1，所以m的取值范围为，1【点评】本题考查数列的定义，求数列的通项公式以及数列求和，并与不等式的知识相结合，属于中档题目
浙公网安备33030202001339号