1、平行四边形复习,本章要点聚焦z,一、四边形的概念 1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形. 2.四边形的内角和与外角和均为360. 3.四边形具有不稳定性. 4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)180 5.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360. 6.多边形的对角线.,二.重要知识规律总结:,n边形共有对角线 条(n3),1.多边形的对角线.,n边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条(n3).,n边形的内角和为：（n2)180(n3).,2.多边形的内角和公式.,整理知识 优化知识结构,你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗
2、？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！,整理知识 优化知识结构,你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！,基础练习,练习1 在图中的标号下面写出所有的判定定理： _； _； _,一般平行四边形与特殊平行四边形的关系 （从定义观察）,正方形,矩形,菱形,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,几种平行四边形的特征比较,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行, 四条边都相等,对边平行, 四条边相等,对角相等, 邻角互补,四个角都为直角,对角相等, 邻角互补,四个角都为直角,对角线互相平分,对
3、角线相等 且互相平分,对角线互相垂直平分, 每条对角线平分对角,对角线互相垂直 平分且相等, 每条对角线平分对角,矩形,菱形,正方形,平行 四边形,2条,2条,4条,1）两组对边分别平行。2）两组对边分别相等。 3）一组对边平行且相等。4）两组对角分别相等。 5）两条对角线互相平分,矩形,菱形,平行 四边形,判定方法：,+邻边相等,+90角,+对角线 互相平分,+邻边相等,+90角,+对角线 相等,+对角线 垂直,判定方法：,正方形,平行四边形复习,1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形 如图： ABCD对边分别为ABCD，ADBC,2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，
4、AD=BC，ABCD，ADBC） 对角相等（A=C，B=D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）,3.平行四边形的性质有：,平行四边形的对边相等,平行四边形的对边平行,平行四边形的对角相等,平行四边形的对角线互相平分,平行四边形邻角互补,平行四边形是中心对称图形,两个推论:,夹在两条平行线间的平行线段相等,夹在两条平行线间的垂线段相等,定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形,定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,定理1: 一组对边平行且相等的四边形平行四边形,4.平行四边形的判定:.,定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形,定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形,
5、3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （AB=CD，AD=BC 四边形ABCD为平行四边形）,两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （BAD=DCB，ABC=ADC 四边形ABCD为平行四边形）,对角线互相平分的四边形是平行四边形 （AO=CO，BO=DO 四边形ABCD为平行四边形）,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （AB=CD且ABCD 四边形ABCD为平行四边形） （AD=BC且ADCD 四边形ABCD为平行四边形,两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （ABCD，ADBC 四边形ABCD为平行四边形）,学习检测,1、如图， ABCD中，A=120，则1=
6、 。,60,2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）,C,3平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则AOB的周长为_,4在平行四边形ABCD中，A=70，D=_, BCD=_,ABCD为平行四边形 BO=OD，AO=OC AC+BD=14 BO+OD+AO+OC=14 BO+AO=7 AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13,ABCD为平行四边形，A=70 ABCD，A=BCD=70 A+D=180 D=180-A=180-70=110,13,110,70,5、点A、B、C、D在同一平面内，从AB/CD
7、；ABCD；BC/AD；BCAD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ） A B C D ,B,6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ） A大于2， B小于14 C大于2且小于14 D大于2或小于12,C,解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x 8-6x6+8，2x14,解析：平行四边形的判定方法,7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， BAD 、 ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。,2,解析：BC平分BAD，DF平分ADC,BAE=DAE，ADB=CDF,ABCD是平行四边形,ADBC，AB=CD=5
8、,DAE=AEBADF=DFC,AB=5,AD=8,AB=BE=5，CD=FC=5,EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3,EF=BC-BF-EC=8-3-3=2,8、如图，ab点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上， 如SABC=5cm2，则SBCD= 。,5cm2,解析：ABC和BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，面积相同,4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线 于点F，若BC=2AB，FBC=70，求EBC的度数,解：由 ABCD可知AB=CD DCAB DCF=EFA，AEF=DCF E为AD中点 AE=ED DECAEF CDA
9、F ,CE=EF BC=2AB，AB=CD AB=AF BF=BC EBC= FBC= 70=35,5：如图：已知 ABCD ，EAD=BAF （1）试证明：CEF是等腰三角形 （2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。,解（1）四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD EAD=F BAFE 又 EAD= BAF E= F CECF CEF是等腰三角形,4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M （1）请说明：AEBF （2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明,证明(1) 四边形ABCD是平行四边形 ADB
10、C DAB DAC180 又AE、BF分别平分DAB和ABC BAE DAB ABF ABC BAE+ ABF= （ DAB + ABC ）=90 AEBF,(2) 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC ABCD BAE= BFC 又 AE、BF分别平分DAB和ABC BAE= AED ABF= CBF DAF= AED CBF= BFC DE=AD CFBC DE=CF 即DE+EFCDEF DF=CE,5. 在 ABCD中，AC6、AB4，则BD的范围是_ 6在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的 长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长 是 ,7
11、.已知ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ; 当B=60时，AD BC间的距离AE= , ABCD的面积=,2x14,20,10,【例1】 如图所示，已知 ABCD的周长为30cm，AEBC于E点，AFCD于F点，且AEAF=23，C=120，求S ABCD.,27 (cm2).,例题解析,三角形的中位线,1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 (E为AC的中点，F为AB的中点，EF为ABC中位线) 2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半. (EF为ABC中位线 EF=BC，EFBC) 3、一个三角形有三条中位线。,1.在ABC中，D、E分别是边AB、
12、AC的中若BC=5， 则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ， 连结各边中点所成三角形的周长为_ _ 3ABC中，D、E分别为AB、AC的中点， 若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_ _,2.5,10cm,18,学习检测,4已知：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的 中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长 是 cm,24,证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.,F,E是AC,BC的中点, FEMN,FE=MN.,四边形FENM是平行四边形.,MG=GE,NG=GF.,FEAB,MNAB,AM=MG=GE,B
13、N=NG=GF., GEGA=GFGB=12.,同理,GDGC=12,GEGA=GFGB=GDGC=12.,已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.,求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,特殊的平行四边形矩形,1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 （四边形ABCD为平行四边形，A=90 四边形ABCD为矩形）,2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC） 四个角都是直角 （BAD=ABC=BCD=CDA=90） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）,3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 BCD
14、中，BCD=90，CO是BD中线 CO=BD（或CO=BO=OD）,矩形的判定： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 四边形ABCD是平行四边形，ABC=90 四边形ABCD为矩形 2、对角线相等的平行四边形是矩形 四边形ABCD为平行四边形，AC=BD 四边形ABCD为矩形 3、有三个角是直角的四边形是矩形 ABC=BCD=CDA=90 四边形ABCD为矩形,学习检测,1.RtABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中 线长为 。,2已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个 交角为120，则矩形的边长分别为 _cm， cm， cm， cm,3下列说法错误的是（ ） A、矩形的
15、对角线互相平分 B、矩形的对角线相等 C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,5,5,5,C,4.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于 O为对角线AC、BD的交点，且CAE15， （1）求证：AOB为等边三角形； （2）求BOE的度数,AB=BE OB=BE BOE=BEO 又EBO=ABC-ABO =90-60=30 BOE=,5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角 线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。,解: 矩形纸片ABCD DAB=90AD=BC, AB=CD BD=,42+x2=（8-x）2 解得
16、：x=3 AG=3,6.如图 ，在平行四边ABCD中，EF为BC上的两点， 且BE=CF,AF=DE. 求证：(1) ABF DCE; (2)四边形ABCD是矩形,(2)由（1）的结论知B=C 平行四边形ABCD,ABCD B+C=180 B=90 四边形ABCD是矩形,7.（2011中考题）如图，在ABC中，点O是AC边 上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC. 设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线 于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边 形AECF是矩形？并证明你的结论。,当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形 证明：CE平分B
17、CA,1=2， 又MNBC, 1=3， 3=2，EO=CO. 同理，FO=COEO=FO 又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形 又1=2，4=5， 1+5=2+4.又1+5+2+4=180 2+4=90 四边形AECF是矩形,2,特殊的平行四边形菱形,1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 四边形ABCD为平行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形,2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，ABCD，ADBC） 对角相等 （BAD=BCD，ABC=CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （ACBD，OAD=OAB=OCD=OCB）,3、菱形的判定： 1、有一组邻边
18、相等的平行四边形是菱形 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边形ABCD为平行四边形，ACBD 四边形ABCD为菱形 3、四条边相等的四边形是菱形 AB=BC=DC=AD 四边形ABCD为菱形,1、菱形的的两邻角之比为12 ，且较短的对角线长3，则 菱形的周长是（ ） A、8 B、9 C、12 D、15 2、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5， AO=4，则对角线AC的长为_、BD的长为_。 3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角 线长_。,学习检测,C,8,6,8,4、如图,四边形ABCD是菱
19、形，ACD30BD=6cm （1）BAD, ABC的度数。 （2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.,解：（1）四边形ABCD是菱形 BCA=DCA,DAB=BCD, ABC+BCD=180 ACD30 BAD=DCB=60，ABC=180-BCD=120 四边形ABCD是菱形 ACBD OA=OC,OD=OB , BC=CD,又BCD=60 BCD为等边三角形 BC=BA=BD=CD=AD=6cm BO=DO=3cm,5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上 的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD 于G，BAE=25，BCD=130，求AHC的度
20、数。,6. （2014中考题）已知：如图，在梯形ABCD中， ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点， 求证：四边形BCDE是菱形,证明：ADBD， ABD是Rt E是AB的中点， BE=,AB，DE= AB,BE=DE， EDB=EBD， CB=CD， CDB=CBD，ABCD， EBD=CDB， EDB=EBD=CDB=CBD， BD=BD， EBDCBD （SAS ）， BE=BC， CB=CD=BE=DE， 菱形BCDE（四边相等的四边形是菱形）,7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD， BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE,（1）求证：四边形
21、ABED是菱形； （2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由,（1）证明：如图，AE平分BAD， 1=2， AB=AD，AE=AE， BAEDAE， BE=DE， ADBC， 2=3=1， AB=BE， AB=BE=DE=AD 四边形ABED是菱形,理由：如图，过点D作DFAE交BC于点F， 则四边形AEFD是平行四边形， DF=AE，AD=EF=BE，,CE=2BE， BE=EF=FC， DE=EF， 又ABC=60，ABDE， DEF=60， DEF是等边三角形， DF=EF=FC， CDE是直角三角形,1.正方形既是_图形，又是_图形 正方形有_条对称轴。 2.正
22、方形既是_形,又是_形，它既具有 _的性质，又具有_的性质。 3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是 _形，再证该四边形是_ 形。 4.正方形的四条边_，并且对边_.邻 边_ 5.正方形的四个角都是_. 6.正方形的两条对角线_且_,并且每 条对角线平分_.,特殊的平行四边形正方形,中心对称,轴对称,四,矩形,菱形,矩形,菱形,矩形,菱形,相等,平行,互相垂直,直角,相等,互相垂直平分,一组对角,学习检测,1.判断： （1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ） （2）对角线相等的矩形是正方形。（ ） （3）四边都相等的四边形是正方形。（ ） （4）矩形包括长方形和正方形。（ ） （
23、5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）,2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DGAE于G, DG交OA于F. 求证：OE=OF.,3、(2014年中考题) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC， 对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。,4.（2014中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？,
24、解答：（1）证明：在正方形ABCD中， BC=CD，B=CDF，BE=DF， CBECDF（SAS） CE=CF （2）解：GE=BE+GD成立 理由是：由（1）得：CBECDF， BCE=DCF， BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90， 又GCE=45，GCF=GCE=45 CE=CF，GCE=GCF，GC=GC， ECGFCG（SAS） GE=GF GE=DF+GD=BE+GD,5、（2014中考题）如图，ABC中，AB=AC，AD是 ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长 到点E，使OE=OD，连接AE，BE （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当AB
25、C满足什么条件时，矩形AEBD是正方形， 并说明理由,（1）证明：点O为AB的中点，连接DO并延长到点E， 使OE=OD， 四边形AEBD是平行四边形， AB=AC，AD是ABC的角平分线， ADBC， ADB=90， 平行四边形AEBD是矩形； （2）当BAC=90时， 理由：BAC=90，AB=AC， AD是ABC的角平分线， AD=BD=CD， 由（1）得四边形AEBD是矩形， 矩形AEBD是正方形,综合应用 解决问题,例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 过点B作BPAC，过点C作CPBD，BP与CP相交于点 P试判断四边形BPCO的形状，并说明理由,综合应用 解决问题
26、,变式1 若连接OP得四边形ABPO，四边形ABPO是 什么四边形？,综合应用 解决问题,变式2 若将 ABCD改为矩形ABCD，其他条件不 变，得到的是什么四边形？,综合应用 解决问题,变式3 得到矩形BPCO，应将条件中的 ABCD 改 为什么四边形？,综合应用 解决问题,变式4 能否得到正方形BPCO？此时四边形ABCD 应该是什么形状？,小试牛刀1.,1、在 ABCD中，已知AB=8，AO=3，B=50 则CD=_，AC=_ A=_， D=_,2、在 ABCD中， A+ C= 150那么 A=_，D=_,3、在 ABCD中， A:B= 4:5，那么 B=_，C=_,8,130,6,75
27、,50,105,80,100,1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O， AOB= 60，AB=6，则AC=_,小试牛刀2.,2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是_,3、矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15，则短边长为_,12,32,5,4、（1）矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分,（2）把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到 AME70o ，则EMN（ ） A、45o B、50o C、55o D、60o,（3）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上
28、的F点处， 如果BAF=60，那么DAE等于（ ） A15 B30 C45 D60,A,C,A,1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，则菱形的周长是_，面积是_,2、如图，在菱形ABCD中， B= 120，则 DAC=_,3、菱形的一个内角为120，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是_,96,40,30,40,小试牛刀3.,4、（1）菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直,（2）如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折 一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）
29、中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的 形状一定是（ ） A一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形,(1),(2),(3),D,B,（1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （3）两条对角线垂直的四边形是菱形 （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 （5）四边相等的四边形是正方形 （6）对角线互相垂直平分的四边形是正方形,反例：,菱形,菱形,一、判断题：,测一测1,二、填空题：,、 ABCD的对角线AC与BD交于O，若 S ABCD=12cm, S AOB=_。,、矩形对角线的交角为60，一条对角线与 较短边的和为18c
30、m, 则对角线长是_。,、菱形的周长为16，高为2，则菱形相 邻的两角的 度数大小为_。,、菱形的对角线长为10和24，则周长 为_。,、正方形ABCD中，E为BC上一点，且EF BD于F, 那么 EFB是_三角形。,3cm,30、150,12cm,52,等腰直角,1、将矩形纸片ABCD、沿对角线AC折叠， 使B点落在E处。则EF与DF有什么关系？ 试证明你的结论。,A,B,C,D,E,F,答：EF与DF是相等关系,证明：矩形ABCD中： B=E=D =90 AB=AE=CD 又 AFE=CFD AEF CDF（AAS） EF=DF （全等三角形对应边相等）,?,?,三、解答题：,2、已知 A
31、BCD中，直线MN / AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。,2、已知 ABCD中，直线MN / AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。,2、已知 ABCD中，直线MN / AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。,如图，ABC中，点O是AC上一个动点，过点O 作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交 BCA的外角平分线于点F， (1)、找出图形中相等的线段，并证明。 (2)、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形， 并证明你的结论。 (3)、当ABC满
32、足什么条件时，四边形AECF是正方形？,OE=OF,当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形,ACB90,测一测2,正方形ABCD的对角线相交于点O ，点 O是正方形 MNPO的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么 正方形MNPO绕点O转动，试猜想两个正方形重叠 部分的面积四边形OEAF与正方形的面积有什么关系？ 并证明你的结论。,0,A,B,C,D,A,M,N,P,E,F,答：SOEAF =,SABCD,有谁证明？,测一测3,A,B,C,D,O,E,F,证明：正方形ABCD中： EDO= FAO=45 DO=AO 1=90 3= 2 DOE AOF(ASA) 又 S四边形EAFO=S OEA+S AOF S四边形EAFO= S OEA +SDOE = S AOD = SABCD,(,(,(,同学们再见！,
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