1、双曲线问题考向一:双曲线的定义与焦点三角形1、在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2、在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将|PF1|PF2|2a平方,建立与|PF1|、|PF2|间的联系1.2016全国,11已知F1、F2是双曲线E:1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()ABCD2答案A解析:解法一:由MF1x轴,可得M,|MF1|.由sinMF2F1,可得cosMF
2、2F1,又tanMF2F1,b2ac,c2a2b2c2a2ac0e2e10,e.解法二:设MF1=m,则MF2=3m,F1F2=22m2a=MF2-MF1=2m,2c=F1F2=22m所以e=22、2014大纲卷,9已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上若|F1A|2|F2A|,则cosAF2F1()ABCD答案A解析:由题意得解得|F2A|2a,|F1A|4a,又由已知可得2,所以c2a,即|F1F2|4a,所以cosAF2F13、2013湖南卷,14设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的
3、离心率为_答案解析:不妨设点P在双曲线C的右支上,由双曲线定义知|PF1|PF2|2a,又因为|PF1|PF2|6a,由得|PF1|4a,|PF2|2a,因为ca,所以在PF1F2中,PF1F2为最小内角,因此PF1F230,在PF1F2中,由余弦定理可知,|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos30,即4a216a24c28ac.所以c22ac3a20,两边同除以a2得,e22e30.解得e.考向二:双曲线的标准方程1、2016全国,5已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A(1,3) B(1,)C(0,3) D(0,)答案A解析原
4、方程表示双曲线,且焦距为4,或由得m21,n(1,3)无解2、2014北京卷,11设双曲线C经过点(2,2),且与x21具有相同渐近线,则C的方程为_;渐近线方程为_答案1;y2x解析根据题意,可设双曲线C:x2,将(2,2)代入双曲线C的方程得3,C的方程为1.渐近线方程为y2x.与双曲线1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为(0)考向三:与渐近线有关的双曲线问题1、【2019全国卷理16】已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点若,则C的离心率为_【答案】2分析:解答本题时,通过向量关系得到和,从而可以得到,再结合双曲线的渐近线可得进而得到
5、从而由可求离心率.解析:如图,由得又得OA是三角形的中位线,即由,得,又OA与OB都是渐近线,得又,又渐近线OB的斜率为,该双曲线的离心率为解法2:如图,由得又得OA是三角形的中位线,即由,得,取B(x,bax),x2+b2a2x2=c2,x=a,所以B(a,b)因为F1A=b,所以OA=a,BF1=2b,BF2=2aSBF1F2=122a2b=122cb,所以e=22、【2019年高考全国卷理数】双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则PFO的面积为ABCD【答案】A【解析】由,又P在C的一条渐近线上,不妨设为在上,则,3、2018全国,11已知双曲线C:y2
6、1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|()A B3 C2 D4答案B解析:由题意分析知,FON30.所以MON60,又因为OMN是直角三角形,不妨取NMO90,则ONF30,于是FNOF2,FMOF1,所以|MN|3.4、2018全国,11设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|OP|,则C的离心率为()A. B2 C. D.答案C解析一:由题可知|PF2|b,|OF2|c,|PO|a.在RtPOF2中,cosPF2O,在PF1F2中 ,cos
7、PF2O,c23a2,e.解析二:由题可知|PF2|b,|OF2|c,|PO|a.过F1作渐近线的垂线,垂足为Q.因为P、Q关于原点对称,|QF1|b,|QO|a,|PQ|2a.在RtPQF1中,QF12+PQ2=PF12b2+4a2=6a2,则b2=2a2,c2=3a2e.5、2017全国,15已知双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点若MAN60,则C的离心率为_答案解析:如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为yx,即bxay0,点A到l的距离d.又MAN60,MANAb,MAN为等边三角形,dMAb
8、,即b,a23b2,e .考向四:双曲线的离心率问题1、2015全国,11已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()AB2 CD答案D解析:设双曲线方程为1(a0,b0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,ABBM2a,MBA120,作MHx轴于H,则MBH60,BHa,MHa,所以M(2a,a)将点M的坐标代入双曲线方程1,得ab,所以e.2、【2019年高考全国卷理数】设F为双曲线C:的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于P,Q两点若,则C的离心率为ABC2D【答案】A解析:设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径
9、,又点在圆上,即,故选A考向五:与其他知识交汇的双曲线问题1、2017全国,9若双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2,则C的离心率为()A2 BCD答案A解析:设双曲线的一条渐近线方程为yx,圆的圆心为(2,0),半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得,解得b23a2.所以C的离心率e 2.2、2013天津卷,5已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为2,AOB的面积为,则p()A1 BC2 D3答案C解析:由已知得双曲线离心率e2,得c24a2
10、,b2c2a23a2,即ba.又双曲线的渐近线方程为yx,抛物线的准线方程为x,所以A,B,于是|AB|.由AOB的面积为可得,所以p2444,解得p2或p2(舍去),故选C.3、2013山东卷,11抛物线C1:yx2(p0)的焦点与双曲线C2:y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p()ABCD答案D解析:设抛物线C1的焦点为F,则F.设双曲线C2的右焦点为F1,则F1(2,0)直线FF1的方程为yx,设M,因为M在直线FF1上,x0.yx2,yx,C1在M点处的切线斜率为x0,又y21的渐近线方程为yx,故由题意得x0,将、联立得p,故选D.8