1、坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：1、2016全国，23在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程
2、代入C的极坐标方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan.所以l的斜率为或.解法二：将l的参数方程代入C的方程得t2+12cost+11=0于是t1t212cos，t1t211.|AB|t1t2|由|AB|得cos2，tan.所以l的斜率为或.条件探究：若直线l的极坐标方程为(R)，l与C交于M，N两点，求CMN的面积设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得262110.于是1262，1211.|AB|12|72-44=27圆C的半径为5，CMN的面积为314.2、【2019年高考全国卷理数】如图，在极坐标
3、系Ox中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在M上，且，求P的极坐标【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）或或或【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）设，由题设及（1）知若，则，解得；若，则，解得或；若，则，解得综上，P的极坐标为或或或3、2017全国，22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|1
4、6，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4、【2019年高考全国卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及l的极坐标方程；（2
5、）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）【解析】（1）因为在C上，当时，由已知得设为l上除P的任意一点在中，经检验，点在曲线上所以，l的极坐标方程为（2）设，在中，即因为P在线段OM上，且，故的取值范围是所以，P点轨迹的极坐标方程为考向二：参数方程1、2017全国，22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3，
6、0)，（，）.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.2、【2019年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）【解析】（1）解法一：x=1-t21+t2=-1+21+t2， 21+t2=x+1，t2=1-x1+x， y=4t1+t2， y2=1
7、6t2(1+t2)2=41-xx+1=4-4x2所以C的直角坐标方程为.解法二:因为，且，所以C的直角坐标方程为的直角坐标方程为（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）C上的点到的距离为当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为3、2018全国，22在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)解析一：O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即（，）或（，）.综上的取值范围是（，）.解析
8、二：设l的参数方程为t为参数，代入O的直角坐标方程得t22tsin10.直线l与O交于A，B两点，所以=8sin2-40，sin22，的取值范围是（，）.(2)l的参数方程为t为参数，.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数，.条件探究：点M(0，)，过点M的直线l与O交于A，B两点，若MB=2MA，求直线l 的方程。解：l的参数方程为t为参数，22，所以直线l 的方程为y=377x-24、2018全国，22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.7
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