1、第2课时 勾股定理的应用,新课导入,这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.,学习目标,学习重、难点,1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长. 2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.,重点：运用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.,推进新课,知识点 1,用勾股定理解决问题,例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？,1.木板能横着或竖着从门框通过吗？,2.这个门框能通过的最大长度是多少？,不能,3.怎样判定这块木板能否通过木框？,求出斜边的长，与木板的宽比较.,解：在RtABC中，根据
2、勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 AC= 2.24 因为AC大于木板的宽2.2 m，所 以木板能从门框内通过,例2 如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4米 （1）求梯子的底端B距墙角O多少米？ （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？,C,O,D,B,A,在RtCOD中，根据勾股定理， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.,解：在RtAOB中，根据勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.,1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的A
3、C方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.,解:,2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离.,解:由图可知两点之间的距离为AB的长.,知识点 2,勾股定理的应用,在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？,已知：如图，在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，AC=AC.,求证： ABCABC.,证明：在RtABC和RtABC中，C=C=90 根据勾股定理，得,又AB=AB, AC=AC， BC=BC.ABCABC（SS
4、S）.,我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？,分析：,13开方就是 ，如果一个三角形的斜边长为 的话，问题就可迎刃而解了。,是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长。,O 1 2 3,A,B,C,提问,你能用语言叙述一下作图过程吗？,在数轴上找到点A，使OA=3;,作直线lOA，在l上取一点B，使AB=2;,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。,1,2,3,下面都是利用勾股定理画出的美丽图形。,1.在数轴上作出表示 的点.,解：如图的数轴上找到点A，使OA=4,作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1，以原点
5、O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.,2.如图，等边三角形的边长是6.求： （1）高AD的长； （2）这个三角形的面积.,解：（1）ADBC于D，则BD=CD=3. 在RtABD中，由勾股定理 AD2=AB2-BD2=62-32=27，故AD=3 5.2,（2）S= BCAD= 63 15.6,随堂演练,基础巩固,1.求出下列直角三角形中未知的边.,AC=8,AB=17,2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为 .,15,3.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m，AC=20
6、m.求A，B两点间的距离(结果取整数).,4.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.,解：,综合应用,解：点A即为表示 的点.,5.在数轴上作出表示 的点.,误 区 诊 断,在ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则ABC的周长为( ) A.32 B.42 C.32或42 D.以上都不对,错解：A或B,错因分析：如图，CD在ABC内部时，AB=AD +BD=9+5=14，此时，ABC的周长=14+13+15= 42，如图，CD在ABC 外部时，AB=AD-BD= 9-5=4，此时，ABC的周长=4+13+15=32.综上所 述，ABC
7、的周长为32或42.故选C.,正解：C,课堂小结,勾股定理的应用,化非直角三角形为直角三角形,将实际问题转化为直角三角形模型,这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？,解：设水深为h尺. 由题意得：AC= ,BC=2,OC=h,由勾股定理得：,1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。,课后作业,教学反思,本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在,教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知
8、的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.,习题17.1,复习巩固,1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=12,b=5，求c； （2）已知a=3,c=4，求b； （3）已知c=10,b=9，求a.,c =13,2.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处.木杆折断之前有多高？,解:如图，根据题意ABC是直角三角形，其中AC=3m，BC=4m.,AB2=AC2+BC2=32+42=52.,AB=5，又AC+AB=8，,所以木杆折断之前有8m高.,3.如图，一个圆锥的高AO
9、=2.4，底面半径OB=0.7. AB的长是多少？,解:圆锥的高AO，半径OB，母线AB构成直角三角形，,在RtAOB中，由勾股定理: AB2=AO2+BO2=2.42+0.72=5.76+0.49=6.25，,所以AB=2.5.所以AB的长为2.5.,4.已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）.,解:由图:AC=40-21=19mm，BC=60-21=39mm，,在RtABC中，ACB=90， 由勾股定理: AB2=AC2+BC2=192+392=1882，AB43.4 (mm),所以两孔中心的距离约为43.4mm.,5.如图，要从电线杆离地面5 m处
10、向地面拉一条长为7 m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）.,解：由勾股定理：AB2=72-52=24，,AB=2 4.9（m） 所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9m.,6.在数轴上作出表示 的点.,解：在如图的数轴上找到一点A，使OA=4，作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.,综合应用,7.在ABC中，C=90，AB=c. （1）如果A=30，求BC，AC; （2）如果A=45，求BC，AC;,解:（1）BC= AB= c.由勾股定理： AC2=AB2-BC2=c2
11、- c2= c2，所以AC= c；,7.在ABC中，C=90，AB=c. （2）如果A=45，求BC，AC;,解:（2）AC=BC.由勾股定理： AC2+BC2=AB2，即2AC2=c2，AC2= ， 所以AC=BC= c.,8.在ABC中，C=90，AC=2.1，BC=2.8，求：（1）ABC的面积； （2）斜边AB； （3）高CD.,解：（1）S= ACBC= 2.12.8=2.94,（2）由勾股定理： AB=,CD=1.68,9.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高l的长（结果取整数）.,解：由图可以看出l的长是等腰三角形底边上的高.由勾股定理，,10.有一个水池，水面是一个
12、边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？,解：设水深为x尺，则这根芦苇的高为（x+1） 尺，根据题意和勾股定理可列方程：,x2+52=（x+1）2，解得x=12.,11.如图，在RtABC中，C=90，A=30，AC=2.求斜边AB的长.,解：在RtABC中，C=90,A=30,AB=2BC，,设BC=x，则AB=2x，根据勾股定理： x2+22=(2x)2，解得x= ，,AB= .,12.有5个边长为1的正方形，排列形式如图.请把它们分割后拼接成一个大正方形.,解：分割小正
13、方形，如图（1），拼接大正方形，如图（2）.,拓广探索,13.如图，分别以等腰RtACD的边AD，AC，CD为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于RtACD的面积.,证明：RtACD为等腰三角形，设AC=CD=x，则 AD= ，故两个小半圆的半径为 ，半圆 ACD的半径为 .,观察图形可知：S半圆AEC+S半圆CFD+SACD-S半圆ACD即为阴 影部分面积，即 ，所以 图中阴影部分面积等于RtACD的面积.,14.如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA =CB，CE=CD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2.（提示：连接BD.）,证明：连接BD. ACB和ECD是等腰直角三角形，,CE=CD，AC=BC，ECD=ACB=90，,即ECA+ACD=ACD+DCB，,ECA=DCB，,EC=DC，AC=BC，ECA=DCB，,AECBDC (SAS),AE=BD，BDC=E=45， ADB=ADC+CDB=90，,根据勾股定理：AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2， 2AC2=AD2+BD2=AD2+AE2.,
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