1.1.4 投影与直观图 学案（含答案）

1、1.1.4投影与直观图学习目标1.了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影.2.理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图知识点一平行投影平行投影的定义及性质(1)定义：已知图形F，直线l与平面相交过F上任意一点M作直线MM平行于l，交平面于点M，则点M叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在内关于直线l的平行投影(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段平行直线的平行投影是平行或重合的直线平行于投射面的线段，它的投影与这条线段

2、平行且等长与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比知识点二直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的平面图形(2)斜二测画法的规则在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使xOz90，且yOz90.画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy45(或135)，xOz90，xOy所确定的平面表示水平平面已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已

3、知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图知识点三中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影1直线的平行投影是直线()2用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()3用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变()4在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变()题型一平行投影与中心投影例1(1)下列说法正确的是()A矩形的平行投影一定是矩形B平行投影与

4、中心投影的投影线均互相平行C两条相交直线的投影可能平行D如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点答案D解析平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确(2)如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的投影图形中，不可能出现的是()考点平行

5、投影题点判断平行投影的结果及应用答案D解析四边形D1MBN在上下底面的投影为选项A；在右、后面上的投影为选项B；在左、前面上的投影为选项C.故选D.反思感悟(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影跟踪训练1(1)已知ABC，选定的投影面与ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的ABC与ABC的关系是()A全等 B相似C不相似 D以上都不对答案B解析根据题

6、意画出图形如图由图易得，则ABCABC.(2)如图1所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的_(填序号)考点平行投影题点判断平行投影的结果及应用答案解析要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图.题型二平面图

7、形的直观图例2画出如图水平放置的直角梯形的直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2)所示(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示引申探究例2中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐

8、标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图反思感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练2已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在

9、图(1)中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图(2)中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图(2)中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图(3)题型三空间几何体的直观图例3画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图解(1)画轴如图，画x轴，y轴，z轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)以上下底中心所在直线为z轴建立

10、空间直角坐标系(3)连线成图连接AA，BB，CC，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABCABC即为要求画的正三棱台的直观图反思感悟空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致跟踪训练3用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)考点空间几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图解画法：(1)画出六棱

11、锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使xOy45，xOz90，如图(2)；在图(2)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN，以点N为中点，画出BC平行于x轴，并且等于BC，再以M为中点，画出EF平行于x轴，并且等于EF；连接AB，CD，DE，FA得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2)画出正六棱锥PABCDEF的顶点，在z轴正半轴上截取点P，点P异于点O.(3)成图连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴

12、，便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF，如图(3)直观图的还原与计算典例(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是()A. B.C. D2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析方法一由题可得原三角形ABO是直角三角形，且AOBO，又OB1，AO，BO1，AO2，原三角形面积为12.方法二直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为4，所以原图形的面积为，故选C.(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C

13、1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，所以面积为S25.素养评析借助原图形与其直观图的关系，理解所求图形的面积，分析探究解题思路，求得运算结果，突出体现了数学运算的数学核心素养.1一条直线在平面上的平行投影是()A直线 B点C点或直线 D线段答案C

14、解析当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线2以下关于投影的叙述不正确的是()A手影就是一种投影B中心投影的投影线相交于点光源C与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D两平行线的平行投影可能不平行答案C3利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()答案C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.4有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.答案5解析该矩形直观图的面积为545.5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图解(1)过点C作C

15、Ex轴，垂足为E，如图所示，画出对应的x轴、y轴，使xOy45，如图所示(2)如图所示，在x轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y轴上取一点D，使得ODOD；过E作ECy轴，使ECEC.连接DC，BC.(3)擦去坐标轴及BE，EC，则所求四边形OBCD的直观图如图所示1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45或135.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”3中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似