1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 学案（含答案）

1、1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征知识点一圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征(1)定义分别看作以所在的直线为旋转轴，将分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体这类几何体叫旋转体(2)相关概念高：在轴上的这条边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：绕轴旋转的边(3)图形表示知识点二球1定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球2相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径

2、：连接球心和球面上一点的线段(2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段(3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆(4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离3球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分知识点三旋转体1定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体2轴：这条直线叫做旋转体的轴知识点四组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而

3、成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等1圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台()2夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱()3半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()4直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥()题型一旋转体的结构特征例1下列命题正确的是_(填序号)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面答案解析以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆

4、台；它们的底面为圆面；正确反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线(2)简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想跟踪训练1下列命题：圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；球的半径是球面上任意一点与球心的连线段其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析错误，截面可能是一个三角形；错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点

5、；正确故选C.题型二简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的_；_；_.解是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体(2)如图所示，已知梯形ABCD中，ADBC，且ADBC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定

6、，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A棱柱、棱台B棱柱、棱锥C棱锥、棱台D棱柱、棱柱答案B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A一个圆台、两个圆锥B两个圆柱、一个圆锥C两个圆台、一个圆柱D一个圆柱、两个圆锥考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案D解析图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥题型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3一个圆台

7、的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM3(cm)(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO，可得，解得l20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相

8、关几何变量的方程组而得解跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长解设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为116，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示则SOASOA，SA3 cm.所以.所以.解得l9，即圆台的母线长为9 cm.命题角度2球的截面的有关计算例4已知半径为25 cm的球的一个截面的面积是49 cm2，则球心到这个截面的距离为_答案24 cm解析设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d.S截r24

9、9，r7 cm，d24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.反思感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解跟踪训练4半径是13 cm的球面上有A，B，C三点，并且ABBCCA12 cm，试求球心到经过这三点的截面的距离解设截面圆的圆心为O1，球的球心为O，则OO1即为球心到截面的距离，又O1是正三角形ABC的外心，所以O1A124(cm)在RtOO1A中，由勾股定理得OO111(cm)，所以球心到经过A，B，C三点的截面的距离为11 cm.1下列几何体是台体的是()

10、答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确2下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是()答案B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确3下面几何体的截面一定是圆面的是()A圆台 B球 C圆柱 D棱柱答案B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为_答案2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.故圆锥的母线长为2.5湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为_ cm.答案13解析设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r12 cm，球心距d(R8)cm，由R2r2d2，得R2144(R8)2，即20816R0，解得R13 cm.1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥的补体思想3处理组合体问题常采用分割思想4重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.