2.3.1 圆的标准方程 学案（含答案）

1、2.3圆的方程23.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程1方程(xa)2(yb)2r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程2以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)224，得点P在圆外(2)已知点

2、M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_答案0,1)解析由题意知，即解得0a4，2a220，即a1.题型三与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值解原方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.引申探究1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值解设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方

3、由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题跟踪训练3已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值解(1)由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原

4、点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1，因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令xyz，并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，则，解得z1，因此xy的最大值为1，最小值为1.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程考点圆的标准方程题点已知弦长求圆的标准方程解方法一(待定系数法

5、)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径为r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.素养评析(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，3答

6、案B2点P(1,3)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定考点圆的标准方程题点点和圆的位置关系答案B3圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21答案A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则1，b2，圆的标准方程是x2(y2)21.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)21.4若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_答案1解析x2y2表示圆上的点(x，y)

7、与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为141.5求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程考点圆的标准方程题点圆心在某直线上求圆的标准方程解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，根据已知条件可得解此方程组得所以所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.1判断点与圆的位置关系(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线是半径(4)圆心与切点的连线必与切线垂直3求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法(2)直接法.